HDU1024糖果大战（条件概率与全概率公式的应用）

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条件概率：在事件 $B$已发生的条件下，事件 $A$发生的概率
记为 $P(A|B)$
全概率公式： $P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)\cdot P(A|B_i)$
使用条件是 $B_i$互斥且 $B_i$且 $B_i$构成全集，即 $\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)=1$
题意：两人初始分别有N,M颗糖果，如果谁赢一局，就拿走对方一颗糖，直到拿完对方所有的糖为止。Speakless单局赢的概率为 $p$,令一个单 局赢的概率为 $q$,如果是平局，不会有任何糖果的得失。问最终Speakless赢的概率是多少。
本题题解：
定义 $u_j$为Speakless初始拥有 $j$颗糖果并最终取胜的概率
则答案为 $u_N$
记事件 $P(A)=u_j$
则事件 $B_1$为Speakless单局取胜， $B_2$为Speakless当局失败, $B_3$为平局。则在 $B_1$已发生的条件下 $A$发生就相当于初始Speakless有 $j+1$个糖果并最终取胜，即 $P(A|B_1)=u_{j+1}$，同理 $P(A|B_2)=u_{j-1}， P(A|B_3)=u_j$;
则有全概率公式为 $P(A)=P(B_1)u_{j+1}+P(B_2)u_{j-1}+P(B_3)u_j$
显然 $P(B_1)=p(1-q),记为P,P(B_2)=q(1-p),记为Q,P(B_3)=1-P-Q$
整理一下有
$\frac{u_{j+1}-u_j}{u_j-u_{j-1}}=\frac{Q}{P}$
记 $g[i]=u_i-u_{i-1}$
则 $g[i]$为等比数列，比为 $k=\frac{Q}{P}$
所以 $g[1]+g[2] +\cdots +g[N+M]=\frac{g[1]\cdot(1-k^{N+M})}{1-k}$
又 $g[1]+g[2]+\cdots+g[N+M]=u_1-u_0+u_2-u_1+\cdots+u_{N+M}-u_{N+M-1}=u_{N+M}-u_0$
显然 $u_0=0,u_{N+M}=1$
两式一化求得 $u_1$
又 $g[1]+g[2]+g[3]+\cdots+g[N]=u_1-u_0+\cdots+u_N-u_{N-1}=u_N=\frac{g[1]\cdot(1-k^{N})}{1-k}$
将 $g[1]$带入有 $u_N=\frac{1-k^N}{1-k^{N+M}}$
到此差不多解决了
但是有一些特殊的要先处理一下
按优先级从大到小判断排序
$N=0,则u_N=0$
$M=0，则u_N=1$
$p==0||q==1,则u_N=0$
$q==0||p==1,则u_N=1$
$q==p(这个也需要特判，不然会出现除零），则u_N=N/(N+M)$
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl '\n'
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=r;i>=l;i--)
const int MX=4e2+7;
const int mod=9901;
using namespace std;
int p[MX],k[MX];
ll qpow(ll a,ll b,ll MOD=mod){for(ll ans=1;;a=a*a%MOD,b>>=1){if(b&1)ans=ans*a%MOD;if(!b)return ans;}}
ll inv(ll a,ll MOD=mod){return qpow(a,MOD-2,MOD);}
ll __gcm(ll a,ll b){return a*b/__gcd(a,b);}
unordered_map<ll,int>mp;
int g[MX];
int main()
{
  ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
  double p,q,ans;
  ll N,M;
  while(cin>>N>>M>>p>>q)
  {
      if(N==0)
      {
          cout<<0.00<<endl;
      }

      else if(M==0)
      {
          cout<<1.00<<endl;
      }
      else if(p==0||q==1)
      {
          cout<<0.00<<endl;
      }
      else if(q==0||p==1)
      {
          cout<<1.00<<endl;
      }
      
      else if(p==q)
      {
          ans=1.0*N/(N+M);
          cout<<fixed<<setprecision(2)<<ans<<endl;
      }
      else {
        double k=q*(1-p)/(p*(1-q));
        double res=(1-pow(k,N))/(1-pow(k,N+M));
        cout<<fixed<<setprecision(2)<<res<<endl;
      }

  }
}