动态规划（4）：最长公共子序列长度

题目

给定两个字符串（或数字序列） A 和B, 求二个字符串，使得这个字符串是A 和B 的最
长公共部分的长度（子序列可以不连续）

样例

输入
sadstory
adminsorry
输出
6

题解

思路:

如果两个串的最后结尾的字符相同,其最长公共子序列长度=分别去掉结尾字符剩下的部分的最长公共子序列长度+1;
不相同,则转化为相同:在其中任意一个串上补与另一个串结尾字符相等的字符,然后转化成上面的情况,再进去因为补上字符多增加的长度1;

最优子结构(举例)：比如求sadstory 和adminsorry的最长公共子序列一定包含sadstor和adminsorr这两个串的最长公共子序列

重复子问题:比如求sadstory 和adminsorry的最长公共子序列和求sadstor和adminsorr这两个串的最长公共子序列,一定都要用到求sadsto和adminsor的最长公共子序列

状态转移公式:

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1, A[i]=B[j]
dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), A[i]!=B[i]

时间复杂度 O(mn)

C++代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include"algorithm"

using namespace std;
#define N 100
int main()
{
	char A[N],B[N];
	int dp[N][N];
	gets(A+1);
	gets(B+1);
	int lenA=strlen(A+1);
	int lenB=strlen(B+1);
	for(int i=0;i<=lenA;i++)
			dp[i][0]=0;
	for(int j=0;j<=lenB;j++)
			dp[0][j]=0;
	
	for(int i=1;i<=lenA;i++)
        for(int j=1;j<=lenB;j++)
	        {
	        	if(A[i]==B[j])
     				 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
	        	else
					 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
			}
	cout<<dp[lenA][lenB];
}