编写用时：2020年3月12日12:02:28~1h
动态规划经典例题——最长公共子序列和最长公共子串（python）
很久之前大概是高中的时候写过这种题目，使用动态规划的方法求解的，现读研究生了，要把过去的拾起来的呢。
1. 最长公共子序列（LCS）
1.1 问题描述
1.2 思路
利用动态规划。
下一步就要找到状态之间的转换方程。
因此可以根据这个方程来进行填表，以"helloworld"和“loop”为例：
1.3 Python代码
def LCS(string1,string2):
len1 = len(string1)
len2 = len(string2)
res = [[0 for i in range(len1+1)] for j in range(len2+1)]
#python 初始化二维数组 [len2+1],[len1+1]
for i in range(1,len2+1): #开始从1开始，到len2+1结束
for j in range(1,len1+1): #开始从1开始，到len2+1结束
if string2[i-1] == string1[j-1]:
res[i][j] = res[i-1][j-1]+1
else:
res[i][j] = max(res[i-1][j],res[i][j-1])
return res,res[-1][-1] #返回res[len2+1][len1+1]
print(LCS("helloworld","loop"))
# 输出结果为：
[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],
[0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2],
[0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3],
[0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3]], 3
所以"helloworld"和"loop"的最长公共子序列的长度为3。
1.4 找到具体的子序列
下面的内容借鉴了博主Running07的博客动态规划 最长公共子序列 过程图解
如果有两个字符串如下：
S1 = “123456778”
S2 = “357486782”
其最终的动态规划填表结果为：
其中S1和S2的LCS并不是只有1个。
我们根据递归公式：
构建了上表，
通过递推公式，可以看出，res[i][j]的值来源于res[i-1][j]或者是res[i-1][j]和res[i][j-1]的较大值（可能相等）。
我们将从最后一个元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。
res[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，res[8][9]的值来源于c[8][8]的值(因为res[8][8] > res[7][9])。
res[8][8] = 5, 且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，res[8][8]的值来源于 res[7][7]。
以此类推，如果遇到S1[i] != S2[j] ，且res[i-1][j] = res[i][j-1] 这种存在分支的情况，这里都选择一个方向（之后遇到这样的情况，也选择相同的方向，要么都往左，要么都往上）。
可得S1和S2的LCS为{3、5、7、7、8} 这是遇见相等的时候，统一往左走
S1和S2之间还有一个LCS 这是遇见相等的时候，统一往上走：
可得S1和S2的LCS为{3、4、6、7、8}
def LCS(string1,string2):
len1 = len(string1)
len2 = len(string2)
res = [[0 for i in range(len1+1)] for j in range(len2+1)] #python 初始化二维数组 [len1+1],[len2+1]
for i in range(1,len2+1): #开始从1开始，到len2+1结束
for j in range(1,len1+1): #开始从1开始，到len2+1结束
if string2[i-1] == string1[j-1]:
res[i][j] = res[i-1][j-1]+1
else:
res[i][j] = max(res[i-1][j],res[i][j-1])
string=""
i=len(string2);
j=len(string1);
while (i > 0) & (j > 0): #一开始我不知道加（）逻辑错误
#开始从1开始，到len2+1结束
print(i,j)
if string2[i-1] == string1[j-1]:
string=string+string2[i-1]
i=i-1
j=j-1
else:
if res[i-1][j]>res[i][j-1]:
i=i-1
elif res[i-1][j]<res[i][j-1]:
j=j-1
else:
i=i-1
return res,res[-1][-1],string[::-1] # 倒序输出
print(LCS("helloworld","loop"))
输出：
4 10
3 10
3 9
3 8
3 7
2 6
2 5
1 4
([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2], [0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3],
[0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3]], 3, 'loo')
2. 最长公共子串
2.1 问题描述
2.2 思路
和最长公共子序列一样，使用动态规划的算法。
下一步就要找到状态之间的转换方程。
和LCS问题唯一不同的地方在于当A[i] != B[j]时，res[i][j]就直接等于0了，因为子串必须连续，且res[i][j] 表示的是以A[i]，B[j]截尾的公共子串的长度。因此可以根据这个方程来进行填表，以"helloworld"和“loop”为例：
这个和LCS问题还有一点不同的就是，需要设置一个result，每一步都更新得到最长公共子串的长度。
2.3 Python代码
def LCstring(string1,string2):
len1 = len(string1)
len2 = len(string2)
res = [[0 for i in range(len1+1)] for j in range(len2+1)]
result = 0
for i in range(1,len2+1):
for j in range(1,len1+1):
if string2[i-1] == string1[j-1]:
res[i][j] = res[i-1][j-1]+1
result = max(result,res[i][j])
return result
print(LCstring("helloworld","loop"))
# 输出结果为：2
2.4 返回子串
def LCS(string1,string2):
len1 = len(string1)
len2 = len(string2)
res = [[0 for i in range(len1+1)] for j in range(len2+1)] #python 初始化二维数组 [len1+1],[len2+1]
result =0
index=0
for i in range(1,len2+1): #开始从1开始，到len2+1结束
for j in range(1,len1+1): #开始从1开始，到len2+1结束
if string2[i-1] == string1[j-1]:
res[i][j] = res[i-1][j-1]+1
if result<res[i][j]:
index=i
result = max(res[i][j],result)
string=string2[index-result:index]
return res,result,string # 输出
print(LCS("hellooxworld","looxoxp"))
([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]],
4, 'loox')
