二叉树的概念、存储结构和遍历（软考）

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一、树的基本概念
二、二叉树的概念
三、二叉树的存储结构
四、二叉树的遍历
五、软考真题练习

一、树的基本概念

树(Tree)是n(n≧0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：有且仅有一个特定的称为根的结点。当n>1时，其余结点可分为m(m>=0)个互不相交的有限集T₁、T₂、T₃……、T_m，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
在这里插入图片描述

双亲、孩子和兄弟：结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为其子结点的双亲。具有相同双亲的结点互为兄弟。例如图中，结点A是树根， B、 C、 D是A的孩子结点， B、C、D互为兄弟； E、F互为兄弟， B是E和F的双亲。
结点的度：一个结点的子树的个数记为该结点的度。例如图中， B的度为2, C的度为0, D的度为1.
叶子结点：也称为终端结点，指度为零的结点。例如图中， E、F、C、G都是叶子结点。
内部结点：度不为零的结点称为分支结点或非终端结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。例如图中，B、D都是内部结点。
结点的层次：根为第一层，根的孩子为第二层，依此类推，若某结点在第1层，则其孩子结点就在第i+1层。例如图中， A在第1层， B、C、D在第2层，和G在第3层。
树的高度：一棵树的最大层数记为树的高度(或深度),例如，图所示的树高度为3 。
有序(无序)树：若将树中结点的各子树看成是从左到右有次序关系，即不能交换次序，则称该树为有序树，否则称为无序树。
森林：是m(m>=0)棵互不相交的树的集合。

二、二叉树的概念

1、二叉树的基本概念

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，它或者是空树(n=0)，或者是由一个根结点及两颗不相交的、分别称为左子树和右子树所组成。

2、二叉树的5种基本形态：

（1）、空二叉树
（2）、只有一个根节点
（3）、根节点只有左子树
（4）、根节点只有右子树
（5）、.根节点既有左子树，又有右子树

3、二叉树的特点

每个结点最多只有两颗子树，暨不存在结点度大于2的结点。
子树有左右之分，不能颠倒。

4、二叉树的性质

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为2^i-1(i>=1)
性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k>=1）
性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为(log₂n)+1
性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点的个数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1

5、完全二叉树以及满二叉树的概念

满二叉树：深度为k的二叉树y有2^k-1个结点

在这里插入图片描述

完全二叉树：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下层的叶结点集中在靠左的若干位置上。
完全二叉树的特点
（1）叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。
（2）完全二叉树结点树n满足2^k-1-1<n<=2^k-1。
（3）满二叉树一定是完全二叉树，反之不成立！

三、二叉树的存储结构

1、顺序存储

二叉树的顺序存储结构
用一组地址连续的存储单元，以层序顺序存放二叉树的数据元素，结点的相对位置蕴含着结点之间的关系。完全二叉树的顺序存储
一般二叉树的顺序存储
把一般的二叉树先补成完全二叉树，然后按照完全二叉树的顺序存储方式进行存储，而新补上去的结点只占位置，不存放结点数据。

2、链式存储

二叉链表

在这里插入图片描述

三叉链表

四、二叉树的遍历

1、先序遍历

（1）访问根结点
（2）先序遍历左子树
（3）先序遍历右子树
在这里插入图片描述
c语言代码

void inOrder(BiTree root)
{	if(root==NULL) return; /*遇到空树（子树）时返回*/
	else
	{	
		printf("%c",data);	/*访问根结点*/
		inOrder(root->lchild);	/*先序遍历根结点的左子树*/
		inOrder(root->rchild);	/*先序遍历根结点的右子树*/
	}
}

2、中序遍历

（1）中序遍历左子树
（2）访问根结点
（3）中序遍历右子树
在这里插入图片描述
c语言代码

void inOrder(BiTree root)
{	if(root==NULL) return; /*遇到空树（子树）时返回*/
	else
	{	
		inOrder(root->lchild);	/*中序遍历根结点的左子树*/
		printf("%c",data);	/*访问根结点*/
		inOrder(root->rchild);	/*中序遍历根结点的右子树*/
	}
}

3、后序遍历

（1）后序遍历左子树
（2）后序遍历右子树
（3）访问根结点
在这里插入图片描述
c语言代码

void inOrder(BiTree root)
{	if(root==NULL) return; /*遇到空树（子树）时返回*/
	else
	{	
		inOrder(root->lchild);	/*后序遍历根结点的左子树*/
		inOrder(root->rchild);	/*后序遍历根结点的右子树*/
		printf("%c",data);	/*访问根结点*/
	}
}

4、、层次遍历

在这里插入图片描述
层次遍历：ABCDEFG

c语言代码

void levelOrder(BiTree root)
{
	BiTree p;
	initQueue(0);	/*创建并初始化一个BiTree型空队列*/
	EnterQueue(0,root);	/*将结点指针root入队*/
	while(!Empty (0)	/*只要队列不为空加循环*/
	{
		DelQueue(0,p);	/*队头元素出队，并用p指向该出对元素*/
		printf("%c",p->data);/*访问p指向的结点*/
		if(p->lchild)
			EnterQueue(0,p->lchild);	/*结点*p的左子树入队*/
		if(p->rchild)
			EnterQueue(0,p->rchile);	/*结点*p的右子树入队*/
	}
}