二叉树顺序存储和遍历

1 二叉树的存储

1.1 顺序存储

使用数组自上而下，自左至右存储完全二叉树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为i的结点元素存储在某个数组下标为i-1的分量中，然后通过一些方法确定结点在逻辑上的父子和兄弟关系。

根据二叉树的性质，完全二叉树和满二叉树树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映出结点之间的逻辑关系，既能节省存储空间，又能利用数组元素下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。

而对于一般的二叉树也必须按照完全二叉树的形式存储，也就是必须添加一些并不存在的虚拟结点，造成空间的浪费。

图1 二叉树顺序存储

顺序存储的关键是数组下标确定结点的位置，如结点从1开始编号，那么结点i的左孩子为2*i，右孩子为2*i+1。不存在结点用0表示。

先回忆一下二叉树的一些性质：

（1）非空二叉树第k层最多有2^k-1个结点

（2） 高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点

首先按照树的高度height初始化一颗树，以及一些有用的方法，代码如下：

public class ArrayBiTree<T> {
    private Object[] data; private int height = 3; // 树的高度 默认为3 private int n; // 结点个数 public ArrayBiTree() { data = new Object[(int) Math.pow(2, height)]; init(); } /** * 指定深度初始化一个树 * @param height 树的深度 */ public ArrayBiTree(int height) { this.height = height; data = new Object[(int) Math.pow(2, height) - 1]; } private void init(){ System.out.println("默认生成一颗完全二叉树，高度为3："); for(int i=0; i<(int) Math.pow(2, height) - 1; i++){ data[i] = i+1; n++; } print(); } /** * 判断结点是否存在 * @param index 根节点从 1 开始 * @return */ public boolean isExist(int index){ if(index > n) return false; return Integer.valueOf(data[index-1].toString()) != 0; } }

1.2 层次遍历

/**
 * 层次遍历，利用队列是实现
 */
public void levelOrder(){ RingBuffer<Integer> queue = new RingBuffer<Integer>(n+1); queue.put(1); // 根节点先进队列 while(queue.size()>0){ int tmp = queue.get(); System.out.print(data[tmp-1]+" "); if (isExist(2 * tmp)) { // 如果左子树存在，把左子树编号入栈 queue.put(2 * tmp); } if (isExist(2 * tmp + 1)) { // 如果右子树存在，把右子树编号入栈， queue.put(2 * tmp + 1); } } }

1.3 先序遍历

1.3.1 递归实现

/**
 * 先序遍历，递归实现Recursion
 * @param index 根节点从 1 开始
 */ public void preOrderRecur(int index){ if(isExist(index)){ //判断结点是否存在 System.out.print(data[index-1]+" "); // 访问根节点 preOrderRecur(2*index); // 递归遍历左子树 preOrderRecur(2*index + 1); // 递归遍历右子树  } }

1.3.2 非递归实现

实现方法1：

/**
 * 先序遍历，非递归实现，借助栈来实现<p>
 * 根节点先入栈，访问栈顶结点，若栈顶元素的右孩子存在则入栈，若栈顶元素的左孩子存在则入栈，如此循环直到栈空
 */
public void preOrder(){ ArrayStack<Integer> stack = new ArrayStack<Integer>(n); stack.push(1); // 根节点入栈 while(!stack.isEmpty()){ int tmp = stack.pop(); // 取根结点，把每个结点都看作根节点 System.out.print(data[tmp-1]+" "); // 访问根结点 if (isExist(2 * tmp + 1)) { // 如果根节点的右子树存在，把右子树编号入栈 stack.push(2 * tmp + 1); } if (isExist(2 * tmp)) { // 如果根节点的左子树存在，把左子树编号入栈 stack.push(2 * tmp); } } }

实现方法2：

/**
 * 先序遍历1，非递归实现，借助栈来实现<p>
 * @param index 根节点从 1 开始
 */ public void preOrderOne(int index){ ArrayStack<Integer> stack = new ArrayStack<Integer>(n); while (isExist(index) || !stack.isEmpty()) { // (1) 首先访问根节点，一直往左下方走，直到一个左孩子不存在的结点。 while (isExist(index)) { System.out.print(data[index - 1] + " "); stack.push(index); // 根节点入栈，把每个结点都看作一个根节点，检查其左右孩子是否存在 index = 2 * index; } // 此时，栈内是从根��点左孩子开始的左孩子，最后一个结点是不存在左孩子的结点 // (2) 拿栈顶元素，看其右孩子是否存在，把当前结点置为其右孩子，继续循环判断(1) if (!stack.isEmpty()) { int tmp = stack.pop(); // 弹出的左子树结点 index = 2 * tmp + 1; // 看它的右孩子是否存在  } } }

1.4 中序遍历

1.4.1 递归实现

/**
 * 中序遍历，递归实现Recursion
 * @param index 根节点从 1 开始
 */ public void inOrderRecur(int index){ if(isExist(index)){ inOrderRecur(2*index); // 递归遍历左子树 System.out.print(data[index-1]+" "); // 访问根节点 inOrderRecur(2*index + 1); // 递归遍历右子树  } }

1.4.2 非递归实现

/**
 * 中序遍历，非递归实现，更改访问时机即可
 * @param index
 */ public void inOrder(int index){ ArrayStack<Integer> stack = new ArrayStack<Integer>(n); while(isExist(index) || !stack.isEmpty()){ while(isExist(index)){ stack.push(index); // 根节点入栈 index = 2 * index; // 是否存在左孩子  } if(!stack.isEmpty()){ int tmp = stack.pop(); // 弹出左孩子 System.out.print(data[tmp-1]+" "); // 访问结点 index = 2 * tmp + 1; // 看左孩子的右孩子是否存在  } } }

1.5 后序遍历

1.5.1 递归实现

/**
 * 后序遍历，递归实现Recursion
 * @param index 根节点从 1 开始
 */ public void postOrderRecur(int index){ if(isExist(index)){ postOrderRecur(2*index); // 递归遍历左子树 postOrderRecur(2*index + 1); // 递归遍历右子树 System.out.print(data[index-1]+" "); // 访问根节点  } }

1.5.2 非递归实现

/**
 * 后序遍历，非递归实现<p>
 * 与前中序相比实现比较麻烦，先访问左子树再访问右子树
 */
public void postOrder(int index){ ArrayStack<Integer> stack = new ArrayStack<Integer>(n); int visited = 0; // 标记前一个已被访问的结点 while(isExist(index) || !stack.isEmpty()){ while(isExist(index)){ stack.push(index); // 根节点入栈 index = 2 * index; }// 先把 index 的左孩子全部找到 int top = stack.peek(); // 查看栈顶元素，没有弹出，访问完右孩子之后在弹出访问根节点 // 如果当前结点不存在右孩子或者右孩子已经访问过，则访问当前结点 if(!isExist(2*top+1) || (2*top+1) == visited){ int tmp = stack.pop(); System.out.print(data[tmp-1]+" "); visited = tmp; } else { // 否则访问右孩子 index = 2 * top + 1; } } }

2 测试

public static void main(String[] args) {
    ArrayBiTree<Integer> biTree = new ArrayBiTree<Integer>(); System.out.print("先序遍历(递归)："); biTree.preOrderRecur(1); System.out.print("\n中序遍历(递归)："); biTree.inOrderRecur(1); System.out.print("\n后序遍历(递归)："); biTree.postOrderRecur(1); System.out.print("\n层次遍历："); biTree.levelOrder(); System.out.print("\n先序遍历(非递归)："); biTree.preOrder(); // biTree.preOrderOne(1); System.out.print("\n中序遍历(非递归)："); biTree.inOrder(1); System.out.print("\n后序遍历(非递归)："); biTree.postOrder(1); System.out.println(); biTree.stdIn(); }

2.1 输出结果

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