二叉树的存储结构
顺序存储结构
二叉树的顺序存储结构是指用一组地址连续的存储单元依次自上而下、从左到右存储完全二叉树上的结点，即将完全二叉树上编号为 i 的结点存储在数组下标为 i−1的数组分量中，然后通过一定方式确定结点在逻辑上的父子或兄弟关系。
空间浪费比较大
链式存储结构
二叉树每个结点最多两个孩子，所以设计二叉树的结点结构时考虑两个指针指向该结点的两个孩子。
二叉树结点结构：
typedef struct BiTNode{
ElemType data; //定义数据域
struct BiTNode *lchild, *rchild; //定义左、右指针
}BiTNode, *BiTree;
这种结构的链表由于有两个指针，所以叫二叉链表
另外还可以增加指针指向该结点的双亲结点，那这时三个指针的链表就叫三叉链表
二叉树的遍历（递归）
遍历，是指按照某条搜索路径访问树中的每一个结点，使得每个结点均会被访问一次，而且仅被访问一次。
由二叉树的递归定义可知，遍历一棵二叉树首先需要确定对根结点、左子树和右子树的访问顺序。常见的遍历次序有先序遍历 (NLR) 、中序遍历 (LNR) 和后序遍历 (LRN) 三种。
递归先序遍历
若二叉树为空，则不采取操作，否则：
- 访问根结点；
- 先序遍历左子树；
- 先序遍历右子树。
对应的递归算法：
void PreOrder(BiTree T){
if(T != NULL){
visit(T); //访问根结点
PreOrder(T->lchild); //递归遍历左子树
PreOrder(T->rchid); / /递归遍历右子树
}
}
递归中序遍历
若二叉树为空，则不进行操作，否则：
- 中序遍历左子树；
- 访问根结点；
- 中序遍历右子树。
对应的递归算法：
void InOrder(BiTree T){
if(T != NULL){
InOrder(T->lchild); //递归访问左子树
visit(T); //访问根结点
InOrder(T->rchild); //递归访问右子树
}
}
递归后序遍历
若二叉树为空，则不进行操作，否则：
- 后序遍历左子树；
- 后序遍历右子树；
- 访问根结点。
对应的递归算法：
void PostOrder(BiTree T){
if(T != NULL){
PostOrder(T->lchild); //递归遍历左子树
PostOrder(T->rchild); //递归遍历右子树
visit(T); //访问根结点
}
}
二叉树的遍历（非递归）
借助到栈
非递归先序遍历
Void PreOrderTraverse(BiTree b){
InitStack(S);
BiTree p=b; //工作指针p
while(p || !IsEmpty(S)){
while(p){
printf(“%c”,p->data); //先序先遍历结点
Push(S,p); //进栈保存
p=p->lchild; //指向左孩子
}
if(!IsEmpty(S)){
p=Pop(S); //出栈
p=p->rchild; //指向右孩子
}
}
}
例子：
过程：
p指向A，打印A, A进栈，
p指向B，打印B，B进栈，
p指向D，打印D，D进栈
p指向NULL，栈不为空，弹出栈顶D，p指向D的右孩子G
打印G，G进栈，
p指向NULL，栈不为空，弹出栈顶G，
p指向NULL，栈不为空，弹出栈顶B，
p指向NULL，栈不为空，弹出栈顶A，
p指向C，打印C，C进栈，
p指向E，打印E，E进栈
p指向NULL，栈不为空，弹出栈顶E
p指向NULL,栈不为空，弹出栈顶C，
p指向F，打印F，F进栈
p指向NULL，栈不为空，弹出栈顶F
p指向NULL，栈空，结束
打印的序列为：A B D G C E F
非递归中序遍历
Void PreOrderTraverse(BiTree b){
InitStack(S);
BiTree p=b; //工作指针p
while(p || !IsEmpty(S)){
while(p){ //中序先将结点进栈保存
Push(S,p);
p=p->lchild;
}
//遍历到左下角尽头再出栈访问
p=Pop(S);
printf(“%c”,p->data);
p=p->rchild; //遍历右孩子
}
}
非递归后序遍历
Void PostOrderTraverse(BiTree b){
InitStack(S);
BiTree p=b，r=NULL; //工作指针p 辅助指针r
while(p || !IsEmpty(S)){
//1.从根结点到最左下角的左子树都入栈
if(p){
Push(S,p);
p=p->lchild;
}
//2.返回栈顶的两种情况
else{
GetTop(S,p); //取栈顶 注意不是出栈！
//①右子树还未访问，而且右子树不空，第一次栈顶
if(p->rchild &&p->rchild !=r)
p=p->rchild;
//②右子树已经访问或为空，接下来出栈访问结点
else{
Pop(S,p);
printf(“%c”,p->data);
r=p; //指向访问过的右子树根结点
p=NULL; //使p为空从而继续访问栈顶
}
}
}
}
层序遍历
如图所示为二叉树的层次遍历，即按照箭头所指方向，按照层次1，2，3，4的顺序，横向遍历对二叉树中的结点进行访问。
进行层次遍历需要借助队列：先将二叉树根结点入队，然后出队并访问该结点，若有左子树，则将左子树根结点入队；若有右子树，则将右子树根结点入队。然后出队并对出队结点进行访问，重复上述操作直到队列为空。
思路：出队→访问→左右孩子入队
二叉树的层次遍历算法：
void LevelOrder(BiTree T){
InitQueue(Q); //创建空队列 Q
BiTree p; //创建遍历指针 p
EnQueue(Q, T); //根结点入队
while(! IsEmpty Q){ //队列非空则继续循环进行遍历
DeQueue(Q, p); //队头元素出队
visit(p); //访问出队结点
if(p->lchild != NULL) //若左子树存在
EnQueue(Q, p->Lchild); //左子树根结点入队
if(p->child != NULL) //若右子树存在
EnQueue(Q, p->rchild); //右子树根结点入队
}
}
线索二叉树
二叉链表表示的二叉树存在大量空指针
N个结点的二叉链表，每个结点都有指向左右孩子的结点指针，所以一共有2N个指针，而N个结点的二叉树一共有N-1条分支，也就是说存在2N-(N-1)=N+1个空指针。比如上图二叉树中有6个结点，那么就有7个空指针。
大量空余指针能否利用起来？
指向前驱和后继的指针成为线索，加上线索的二叉链表就成为线索链表，相应的二叉树被称为线索二叉树
对二叉树以某种次序遍历使其变为线索二叉树的过程就叫做线索化
如何区分指针是指向左孩子还是前驱，或者指向右孩子还是后继？
在二叉链表结点的结构基础上增加两个标志位ltag和rtag
typedef struct ThreadNode{
ElemType data;
struct ThreadNode *lchild,*rchild;
int ltag,rtag;
}ThreadNode,*ThreadTree; //线索链表
| lchild | ltag | data | rtag | rchild |
|---|
ltag == 0 代表lchild指向该结点的左孩子
ltag ==1 代表lchild指向该结点的前驱rtag == 0 代表rchild指向该结点的右孩子
rtag ==1 代表rchild指向该结点的后继
void InThread(ThreadTree &p,ThreadTree &pre){
//中序遍历对二叉树线索化的递归算法
if(p){
InThread(p->lchild,pre);
//修改前驱
if(p->lchild==NULL){
p->lchild=pre;
p->ltag=1;
}
//修改后继
if(pre!=NULL&&pre->rchild==NULL){
pre->rchild=p;
pre->rtag=1;
}
pre=p;
InThread(p->rchild,pre);
}
}
遍历线索二叉树
void InOrderTraverse(ThreadTree T){
ThreadTree p=T；
while(p){
while(p->ltag==0)p=p->lchild;
printf(“%c”,p->data);
while(p->rtag==1&&p->rchild){
p=p->rchild;
printf(“%c”,p->data);
}
p=p->rchild;
}
}
参考资料
王道数据结构
