计算机编程中的数据类型

一. 整型（int/unsigned int）

1. 机器数

• 原码：由符号位（正数为0，负数为1）和真值绝对值（二进制）表示。

  表示范围为 $-2^{n-1}+1\sim 0$， $+0\sim +2^{n-1}$。

  例如，以8 bit字长为例（下同）， $[-74]_原 = 1100\ 1010$。

  注意， $[+0]_原=0000\ 0000 \ne [-0]_原=1000\ 0000$。

• 反码：正数的反码与其原码相同；对于负数，其原码的符号位不变，数值位按位求反。

  表示范围为 $-2^{n-1}+1\sim 0$， $+0\sim +2^{n-1}$。
  例如， $[-74]_反 = 1011\ 0101$。
  注意， $[+0]_反=0000\ 0000 \ne [-0]_反=1111\ 1111$。

• 补码：正数的补码与其原码相同；负数的补码有两种计算方法：

  • 方法一：负数的补码是其反码+1的结果，若有溢出，则舍弃溢出位。例如， $[-74]_补 = 1011\ 0101+1 = 1011\ 0110$。
  • 方法二：负数 $x$的补码 $[x]_补 = 2^n-|x|$。例如， $[-74]_补 = 2^8-74 = 1011\ 0110$。

  表示范围为 $-2^{n-1}\sim + 2^{n-1}-1$。

  另外， $[+0]_补= [-0]_补=0000\ 0000$， $\left[ (x)_补 \right]_补 = x$

• 移码：由补码的符号位取反得到，即： $[x]_补 = 2^{n-1}+x$（其中 $-2^n\le x< 2^n$）。例如 $[-74]_移 = 2^7-74 = 0011\ 0110$。
  另外， $[+0]_移 = [-0]_移 = 1000\ 0000$。

2. 整型数的表示方法

• 有符号整型数（int）的表示方法：在内存中以补码的形式存储（long/short等与之类似）。

• 无符号整型数（unsigned int）的表示方法：在内存中以无符号数的形式存储。

3. 整型数的计算

(1) 类型转换

int与int，或unsigned int与unsigned int之间进行运算，结果的类型不变；int与unsigned int之间进行运算，结果为unsigned int，如下面代码中：

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int a = -2;
    unsigned int b = 1;
    cout << a + b << endl;
}

输出结果不为-1，而为4294967295（二进制的4个字节全为1），即说明-2在内存是以补码存储的（补码为1000 … 0010），与无符号的1（二进制0000 … 0001）相加，结果为1111 … 1111。

此外需要注意，若两个操作数均为int型，则结果一定为int型（如18*5/9结果为10）。

(2) 移位运算

左移1位可以实现×2操作，右移1位可以实现÷2操作。

进行移位运算时，符号位不变，只有数值位参与移位。若为正数，则左移（或右移）时，最高位（最低位）舍弃，最低位（最高位）空出，填补0；若为负数，则左移时空缺位填补0，右移时空缺位填补1。

例如：-10的补码为1111 0110，左移1位得1110 1100，真值为-20。

(3) 有关溢出

以unsigned int型（32位）为例，其最大值为0xFFFFFFFF（可通过printf("%x",UINT_MAX);查得），若产生溢出，则系统默认对 $2^{32}$取余。如：

unsigned int ui = 0xFFFFFFFF;
ui += 2;
cout << ui << endl;

结果为1。

二. 浮点型（float/double）

1. 浮点数的表示方法

(1) 一般表示形式

$N = S\times r^j$，其中 $S$为尾数（小数，可正可负，且 $|S|\le 1$）， $r$为尾数的基值（一般取2、8、16等）， $j$为阶码（二进制整数）。

例如：
$\begin{aligned} N &=11.0101 \\ &=1.10101×2^1\\ &=0.110101×2^{10} \\ &=0.00110101×2^{100} \end{aligned}$

(2) 规格化

当 $\frac 1 2 \le |S| < 1$时， $S$为规格化数。

	规格化形式（ $S>0$）	规格化形式（ $S<0$）	特点
真值	$0.1 \times \times \cdots$	$-0.1 \times \times \cdots$
原码	$0.1 \times \times \cdots$	$1.1 \times \times \cdots$
补码	$0.1 \times \times \cdots$	$1.0 \times \times \cdots$	数符和第一位不同

如 $0.110101×2^{10}$符合规格化标准。

(3) IEEE754标准

在IEEE754标准中，float型浮点数的表示方式为（32位）：

符号位 $S$	阶码 $N$	尾数 $M$
31（1位）	30～23（8位）	22 ~ 0（23位）

其中：

• 符号位 $S$——0表示正数，1表示负数；

• 阶码 $N$——用移码表示，偏移量为127；

• 尾数 $M$——有效数字位（补码），由于 $M$符合规格化标准，故整数部分的无需进行存储。

例如-125.5，符号位 $S=1$；其绝对值二进制表示为 $1111101.1=1.111101×2^6$（这里6为十进制），故尾数 $M=111101$（舍去了整数部分1），补全23位得111 1011 0000 0000 0000 0000；阶码 $N=6+127=133$，即1000 0101。
故-125.5在内存中表示为：1 10000101 11110110000000000000000。
通过以下程序可以得到验证：

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    float a = -125.5;
    char *p = (char *)&a;
    printf("%d ",*p);		// 输出结果：0
    printf("%d ",*(p+1));	// 输出结果：0
    printf("%d ",*(p+2));	// 输出结果：-5
    printf("%d ",*(p+3));	// 输出结果：-62
}

也可以在debug模式中，在内存中输入地址&a，查得存储的内容为（由低字节到高字节）00 00 FB C2，即C2FB0000，从而得证。

double型浮点数表示方式完全类似，只是变为64位，且阶码的偏移量变为1023：

符号位 $S$	阶码 $N$	尾数 $M$
63（1位）	62～52（11位）	51 ~ 0（52位）

(4) 浮点数的表示范围

设尾数有 $n$位，阶码有 $m$位，则：

• 最小负数： $-(1-2^{-n} )×2^{(2^m-1)}$；
• 最大负数： $-2^{-n}×2^{-(2^m-1)}$；
• 最小正数： $2^{-n}×2^{-(2^m-1)}$；
• 最大正数： $(1-2^{-n} )×2^{(2^m-1)}$。

小于最小负数和大于最大正数的范围，称为上溢区，此区域的浮点数视为溢出；在最大负数和最小正数之间的区域，称为下溢区，此区域的浮点数视为0。

2. 浮点数的计算

(1) 类型转换

浮点数运算时，两个操作数中只要有一个为浮点型（不论为float型还是double型），都转化为double型进行运算，结果也为double型。

(2) 浮点数加减运算

设两个浮点数 $x=S_x⋅2^{j_x}$ ， $y=S_y⋅2^{j_y}$，计算 $x±y$的步骤如下：

• 对阶：若阶差 $Δj=j_x-j_y=0$，则表明已经对齐；若不为0，则需要“小阶向大阶看齐”（以防止移位时最高位丢失）：将小阶 $+Δj$补至大阶，尾数右移 $Δj$位；

• 尾数相加；

• 规格化：例如， $[x+y]_补$的阶码为11，尾数为11.1001，则将尾数左规，变为1.0010，阶码降为10；当尾数出现 $01.××…$或 $10.××…$时，表示出现了溢出，应右规，阶码+1；

• 舍入：0舍1入法或末尾恒置1法；

• 溢出判断：见浮点数的表示范围。

(3) 浮点数的乘除运算

乘（除）运算只需要将尾数相乘（除），阶码相加（减）即可。

三. 字符型（char）

1. 表示方法

在内存中，字符以ASCII码对应的整型数存储（8位）。

2. 计算方法

在计算时，不论char还是unsigned char型，均转换为int型进行计算。