卷积神经网络基础

本节我们介绍卷积神经网络的基础概念，主要是卷积层和池化层，并解释填充、步幅、输入通道和输出通道的含义。

二维卷积层

本节介绍的是最常见的二维卷积层，常用于处理图像数据。

二维互相关运算

二维互相关（cross-correlation）运算的输入是一个二维输入数组和一个二维核（kernel）数组，输出也是一个二维数组，其中核数组通常称为卷积核或过滤器（filter）。卷积核的尺寸通常小于输入数组，卷积核在输入数组上滑动，在每个位置上，卷积核与该位置处的输入子数组按元素相乘并求和，得到输出数组中相应位置的元素。图1展示了一个互相关运算的例子，阴影部分分别是输入的第一个计算区域、核数组以及对应的输出。

Image Name 图1 二维互相关运算

下面我们用corr2d函数实现二维互相关运算，它接受输入数组X与核数组K，并输出数组Y。

import torch 
import torch.nn as nn def corr2d(X, K): H, W = X.shape h, w = K.shape Y = torch.zeros(H - h + 1, W - w + 1) for i in range(Y.shape[0]): for j in range(Y.shape[1]): Y[i, j] = (X[i: i + h, j: j + w] * K).sum() return Y

构造上图中的输入数组X、核数组K来验证二维互相关运算的输出。

X = torch.tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]]) K = torch.tensor([[0, 1], [2, 3]]) Y = corr2d(X, K) print(Y)

tensor([[19., 25.],
        [37., 43.]])

二维卷积层

二维卷积层将输入和卷积核做互相关运算，并加上一个标量偏置来得到输出。卷积层的模型参数包括卷积核和标量偏置。

class Conv2D(nn.Module): def __init__(self, kernel_size): super(Conv2D, self).__init__() self.weight = nn.Parameter(torch.randn(kernel_size)) self.bias = nn.Parameter(torch.randn(1)) def forward(self, x): return corr2d(x, self.weight) + self.bias

下面我们看一个例子，我们构造一张 $6 \times 8$

的图像，中间4列为黑（0），其余为白（1），希望检测到颜色边缘。我们的标签是一个

的二维数组，第2列是1（从1到0的边缘），第6列是-1（从0到1的边缘）。

X = torch.ones(6, 8) Y = torch.zeros(6, 7) X[:, 2: 6] = 0 Y[:, 1] = 1 Y[:, 5] = -1 print(X) print(Y)

tensor([[1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.],
        [1., 1., 0., 0., 0., 0., 1., 1.]])
tensor([[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.],
        [ 0.,  1.,  0.,  0.,  0., -1.,  0.]])

我们希望学习一个 $1 \times 2$

卷积层，通过卷积层来检测颜色边缘。

conv2d = Conv2D(kernel_size=(1, 2)) step = 30 lr = 0.01 for i in range(step): Y_hat = conv2d(X) l = ((Y_hat - Y) ** 2).sum() l.backward() # 梯度下降 conv2d.weight.data -= lr * conv2d.weight.grad conv2d.bias.data -= lr * conv2d.bias.grad # 梯度清零 conv2d.weight.grad.zero_() conv2d.bias.grad.zero_() if (i + 1) % 5 == 0: print('Step %d, loss %.3f' % (i + 1, l.item())) print(conv2d.weight.data) print(conv2d.bias.data)

Step 5, loss 4.569
Step 10, loss 0.949
Step 15, loss 0.228
Step 20, loss 0.060
Step 25, loss 0.016
Step 30, loss 0.004
tensor([[ 1.0161, -1.0177]])
tensor([0.0009])

互相关运算与卷积运算

卷积层得名于卷积运算，但卷积层中用到的并非卷积运算而是互相关运算。我们将核数组上下翻转、左右翻转，再与输入数组做互相关运算，这一过程就是卷积运算。由于卷积层的核数组是可学习的，所以使用互相关运算与使用卷积运算并无本质区别。

特征图与感受野

二维卷积层输出的二维数组可以看作是输入在空间维度（宽和高）上某一级的表征，也叫特征图（feature map）。影响元素 $x$

$6 \times 7$

的感受野（receptive field）。

以图1为例，输入中阴影部分的四个元素是输出中阴影部分元素的感受野。我们将图中形状为 $2 \times 2$

$6 \times 7$

的全部四个元素，在输入上的感受野包括其中全部9个元素。可见，我们可以通过更深的卷积神经网络使特征图中单个元素的感受野变得更加广阔，从而捕捉输入上更大尺寸的特征。

填充和步幅

我们介绍卷积层的两个超参数，即填充和步幅，它们可以对给定形状的输入和卷积核改变输出形状。

填充

填充（padding）是指在输入高和宽的两侧填充元素（通常是0元素），图2里我们在原输入高和宽的两侧分别添加了值为0的元素。

Image Name

图2 在输入的高和宽两侧分别填充了0元素的二维互相关计算

如果原输入的高和宽是 $n_{h}$

$6 \times 7$

列，则输出形状为：

我们在卷积神经网络中使用奇数高宽的核，比如 $3 \times 3$

$6 \times 7$

的填充，便可保持输入与输出尺寸相同。

步幅

在互相关运算中，卷积核在输入数组上滑动，每次滑动的行数与列数即是步幅（stride）。此前我们使用的步幅都是1，图3展示了在高上步幅为3、在宽上步幅为2的二维互相关运算。

Image Name

图3 高和宽上步幅分别为3和2的二维互相关运算

一般来说，当高上步幅为 $s_{h}$

$6 \times 7$

时，输出形状为：

如果 $p_{h} = k_{h} - 1$

$6 \times 7$

。

当 $p_{h} = p_{w} = p$

$6 \times 7$

。

多输入通道和多输出通道

之前的输入和输出都是二维数组，但真实数据的维度经常更高。例如，彩色图像在高和宽2个维度外还有RGB（红、绿、蓝）3个颜色通道。假设彩色图像的高和宽分别是 $h$

$6 \times 7$

的多维数组，我们将大小为3的这一维称为通道（channel）维。

多输入通道

卷积层的输入可以包含多个通道，图4展示了一个含2个输入通道的二维互相关计算的例子。

Image Name

图4 含2个输入通道的互相关计算

假设输入数据的通道数为 $c_{i}$

$6 \times 7$

的卷积核。

多输出通道

卷积层的输出也可以包含多个通道，设卷积核输入通道数和输出通道数分别为 $c_{i}$

$6 \times 7$

。

对于输出通道的卷积核，我们提供这样一种理解，一个 $c_{i} \times k_{h} \times k_{w}$

$6 \times 7$

的核数组，不同的核数组提取的是不同的特征。

1x1卷积层

最后讨论形状为 $1 \times 1$

$6 \times 7$

卷积核的互相关计算。

Image Name

图5 1x1卷积核的互相关计算。输入和输出具有相同的高和宽

$6 \times 7$

卷积层的作用与全连接层等价。

卷积层与全连接层的对比

二维卷积层经常用于处理图像，与此前的全连接层相比，它主要有两个优势：

一是全连接层把图像展平成一个向量，在输入图像上相邻的元素可能因为展平操作不再相邻，网络难以捕捉局部信息。而卷积层的设计，天然地具有提取局部信息的能力。

二是卷积层的参数量更少。不考虑偏置的情况下，一个形状为 $(c_{i}, c_{o}, h, w)$

$6 \times 7$

。使用卷积层可以以较少的参数数量来处理更大的图像。

卷积层的简洁实现

我们使用Pytorch中的nn.Conv2d类来实现二维卷积层，主要关注以下几个构造函数参数：

in_channels (python:int) – Number of channels in the input imag
out_channels (python:int) – Number of channels produced by the convolution
kernel_size (python:int or tuple) – Size of the convolving kernel
stride (python:int or tuple, optional) – Stride of the convolution. Default: 1
padding (python:int or tuple, optional) – Zero-padding added to both sides of the input. Default: 0
bias (bool, optional) – If True, adds a learnable bias to the output. Default: True

forward函数的参数为一个四维张量，形状为 $(N, C_{i n}, H_{i n}, W_{i n})$

$6 \times 7$

分别表示通道数、高度、宽度。

代码讲解

X = torch.rand(4, 2, 3, 5) print(X.shape) conv2d = nn.Conv2d(in_channels=2, out_channels=3, kernel_size=(3, 5), stride=1, padding=(1, 2)) Y = conv2d(X) print('Y.shape: ', Y.shape) print('weight.shape: ', conv2d.weight.shape) print('bias.shape: ', conv2d.bias.shape)

torch.Size([4, 2, 3, 5])
Y.shape:  torch.Size([4, 3, 3, 5])
weight.shape:  torch.Size([3, 2, 3, 5])
bias.shape:  torch.Size([3])

池化

二维池化层

池化层主要用于缓解卷积层对位置的过度敏感性。同卷积层一样，池化层每次对输入数据的一个固定形状窗口（又称池化窗口）中的元素计算输出，池化层直接计算池化窗口内元素的最大值或者平均值，该运算也分别叫做最大池化或平均池化。图6展示了池化窗口形状为 $2 \times 2$

的最大池化。

Image Name

图6 池化窗口形状为 2 x 2 的最大池化

二维平均池化的工作原理与二维最大池化类似，但将最大运算符替换成平均运算符。池化窗口形状为 $p \times q$

$6 \times 7$

池化。

池化层也可以在输入的高和宽两侧填充并调整窗口的移动步幅来改变输出形状。池化层填充和步幅与卷积层填充和步幅的工作机制一样。

在处理多通道输入数据时，池化层对每个输入通道分别池化，但不会像卷积层那样将各通道的结果按通道相加。这意味着池化层的输出通道数与输入通道数相等。

池化层的简洁实现

我们使用Pytorch中的nn.MaxPool2d实现最大池化层，关注以下构造函数参数：

kernel_size – the size of the window to take a max over
stride – the stride of the window. Default value is kernel_size
padding – implicit zero padding to be added on both sides

forward函数的参数为一个四维张量，形状为 $(N, C, H_{i n}, W_{i n})$

$6 \times 7$

分别表示通道数、高度、宽度。

代码讲解

X = torch.arange(32, dtype=torch.float32).view(1, 2, 4, 4) pool2d = nn.MaxPool2d(kernel_size=3, padding=1, stride=(2, 1)) Y = pool2d(X) print(X) print(Y)

tensor([[[[ 0.,  1.,  2.,  3.],
          [ 4.,  5.,  6.,  7.],
          [ 8.,  9., 10., 11.],
          [12., 13., 14., 15.]],

         [[16., 17., 18., 19.],
          [20., 21., 22., 23.],
          [24., 25., 26., 27.],
          [28., 29., 30., 31.]]]])
tensor([[[[ 5.,  6.,  7.,  7.],
          [13., 14., 15., 15.]],

         [[21., 22., 23., 23.],
          [29., 30., 31., 31.]]]])

平均池化层使用的是nn.AvgPool2d，使用方法与nn.MaxPool2d相同。

动手学习Pytorch(6)--卷积神经网络基础

卷积神经网络基础

二维卷积层

二维互相关运算

二维卷积层

互相关运算与卷积运算

特征图与感受野

填充和步幅

填充

步幅

多输入通道和多输出通道

多输入通道

多输出通道

1x1卷积层

卷积层与全连接层的对比

卷积层的简洁实现

池化

二维池化层

池化层的简洁实现

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