一维、二维差分

差分

差分是一种支持进行区间大量修改的操作，其实就是前缀和的逆运算，例如数组a[6] = {1，2，3，4，5，6}，b[6] = {1,1,1,1,1,1} ,b[i] = a[i] - a[i - 1]，可以得出：a[1] = b[1],a[2] = b[1] + b[2],…;b[i]的前缀和等于a[i]，这所以说，差分就是前缀和的逆运算。
例题：

输入一个长度为n的整数序列。

接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式
第一行包含两个整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数序列。

接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。

输出格式
共一行，包含n个整数，表示最终序列。

数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m, a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
	b[l] += c;
	b[r + 1] -= c; 
}
int main() 
{ 
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++ ) 
		scanf("%d", &a[i]);
	
	for(int i = 1; i <= n; i++ )
		insert(i, i, a[i]);//在[i, i]区间插上a[i],也就是初始化a[i]; 
		
	while(m -- )
	{
		int l, r, c;
		scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
		insert(l, r, c);//对询问进行插入、消重 
	}
	
	for(int i = 1; i <= n; i++ )
	{
		b[i] += b[i - 1];//求b[i]的前缀和就相当于求a[i]; 
		printf("%d ", b[i]); 
	}
	
	return 0;
}

二维差分（差分矩阵）

二位差分基于二位前缀和，前面一维、二维前缀和提到二维前缀和公式：s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]；也会在这里使用

关键部分：

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
	b[x1][y1] += c;
	b[x2 + 1][y1] -= c;
	b[x1][y2 + 1] -= c;
	b[x2 + 1][y2 + 1] += c;//加上多减去的 
}

看个例题：

输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个操作，每个操作包含五个整数x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数n,m,q。

接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。

接下来q行，每行包含5个整数x1, y1, x2, y2, c，表示一个操作。

输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
//上面是输入的矩阵，下面是询问
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N]; 

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
	b[x1][y1] += c;//x1,yi以下全加 
	b[x2 + 1][y1] -= c; 
	b[x1][y2 + 1] -= c;//减去不需要加的 
	b[x2 + 1][y2 + 1] += c;//加上多减去的 
}

int main() 
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m >> q;
	
	for(int i = 1; i<= n; i++ )
		for(int j = 1; j <= m; j++ )
		{
			cin >> a[i][j];
			insert(i, j, i, j, a[i][j]);//初始化a[i][j],把它插入子矩阵中 
		}
	
	while(q--){
		int x1, y1, x2, y2, c;
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
		insert(x1, y1, x2, y2, c);
	}		
	
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = 1; j <= m; j++)
			b[i][j] += b[i -1][j] + b[i][j-1] - b[i - 1][j - 1];//b[i][j]前缀和就是a[i][j] 
			
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for(int j = 1; j <= m; j++)
		{
			cout << b[i][j] << " ";
		}
		cout<<endl;
	}
}