前缀和&差分 精讲（一维、二维、附例题！）

这篇文章是我寻找众多博客总结归纳的，还有找到的部分经典例题，相信看完的你一定会有新的感悟！加油！

一、一维前缀和

一维的前缀和数组sum[ i ]就是存的是 前i个数的总和 。
那么x到y区间的总和就是 sum[ y ] - sum[ x ]

应用：

1、求一个数前面的所有数的和：递推；

2、求较多区间( l , r )之间的数的和：求前缀和之后 ans=a[r]-a[l-1];

例：HJ浇花、color the ball;

3、多组数据，每组数据都用同一总数组来操作，如果一组数据一组数据遍历的话很容易超时，那么可以将那个总数组答案化(即，将该数组修改成接下来的每组数据需要的数)，接着按输入找数组就行了。

例：Olympiad；

4、将两种不同的物品分离，求最少的操作次数：一种物品从前面取前缀和，另一种从后面取“后缀和”，遍历所有点，总个数去掉两个数组里数即为不符合的需要改动的个数。

例：战马列队；

二、二维前缀和

二维的前缀和如sum[ i ][ j ]是指 (i,j)点的左上角的矩阵(从（1，1）开始)的各数总和。

求二维前缀和的方法：

a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];

以下是对该式子的解释：

如图：图一点（i，j）的意义：红色区域的面积；假设其周围的数已求出前缀和，那么（i,j-1）点就是图二黄色区域的面积，（i-1,j）就是图三蓝色区域的面积。那（i,j）的求法是图一整个红色区域去点黄色和蓝色区域？不，多加了绿色区域，还要去掉绿色区域；
即：a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];

应用：可以快速的求出矩阵中任何一个子矩阵的和，如：
1、求长为l且右下角顶点为(i,j)的正方形面积：

 sum[i][j] - sum[i][j-l] - sum[i-l][j] + sum[i-l][j-l]。

2、求左上角为（x1,y1），右下角为（x2,y2）的矩形的面积：

sum[x2,y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1];

前提：矩阵中的所有的数已求前缀和；
我们要算的是 D区域 (以（x1,y1）为左上角，（x2,y2）为右下角的矩形) 的面积,那么sum[x2,y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]即总的面积去掉A+B的面积去掉A+C的面积，多减了一个A的面积，再加上。

例：激光炸弹，最大正方形，Conturbatio。

三、一维差分

可以简单理解为：“相邻两个数之差”；
差分就是数组b对于数组a有b[ i ] = a[ i ] - a[ i-1 ]（2 <= i <= n），b就是a的差分。
性质：差分的前缀和是原数组，前缀和的差分也是原数组(差分是前缀和的逆状态；
应用：给定多个区间，将区间里的所有数相加或相减一个数。如果挨个区间遍历的话，很可能超时，那么可以用差分：
例如 将区间（l,r）中的所有的数+1，将所有数差分后，a[l]++,a[r+1]--; 再求前缀和即为变换后的区间；

例：fancy的区间、最高的牛、增减序列；

四、二维差分

根据二维前缀和表示的是右上角矩形的和，由于差分只涉及前面相邻的数（由一维可以推出），并且由前面范围的数相加得到这个位置的数。那么类比二维前缀和和一维差分，可以简单推测出二维差分的公式:

f[i][[j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];

(二维差分就是二维前缀和的逆运算，所以与正好二维前缀和公式相反。)

性质：

1. 二位前缀和通过二维差分后变换成原数组；
2. 二维差分通过二维前缀和后也会变成原数组；

如何从差分矩阵得到原矩阵呢？
a[i][j]=f[i][j]+f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1]; (即前缀和公式);
应用：将所给矩形中的所有的数加上一个数或减掉一个数。
例：将以（x1,y1）为左上角，以（x2,y2）为右下角的矩形中的所有的数+c：

 f[x1][y1]+=c;   f[x1][y2+1]-=c;   f[x2+1][y1]-=c;    f[x2+1][y2+1]+=c;

再将二维数组求前缀和即得到变换后的数组；
对上述公式的解释：

1. 前提：数组已二维差分；
2. 如图：我们的目的是将图一紫色矩形中的所有数字+c，在一维差分中，区间中的数加减只需对边界操作，二维差分也是如此。
   只是将点（x1,y1）+c后会影响到全部的区域（即图二黄色区域，原因：之后要取前缀和），为了消除影响，则要（x1,y2+1）-c,(即图三蓝色区域),（x2+1,y1）-c(即图四蓝色区域)，会发现有重复部分，去掉重复：（x2+1,y2+1）+c;

模板：二维差分模板——差分矩阵；

例题：方格稿纸

参考来源：
https://blog.csdn.net/Zeolim/article/details/86770827
https://blog.csdn.net/mrcrack/article/details/99701435
https://blog.csdn.net/justidle/article/details/104506724

本蒻第一次写博客hh，肯定有不足的地方，欢迎各位大佬前来指正！

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