一、二维差分与前缀和例题汇总
前言
在不知道前缀和和差分的时候，一直以为关于一维二维的求和、加和都是暴力求解。。。- 本文同步发布于个人博客
一维差分
- 什么是差分？通俗来讲就是一个数组相邻两个元素的差，一般为下标靠后的减去
靠前的一个。设差分数组p[]，即：
- 将a[L]~a[R]内的元素都加上P -> 只需前缀和b[L] += p，b[R + 1] -= p
- 将a[L]~a[R]内的元素都减上P -> 只需前缀和b[L] -= p，b[R + 1] += p
二维差分
- 二维差分一维多一个维度，会出现重叠的问题。
- 普通算法需要O(n2)的时间复杂度而使用差分与二维前缀和相结合只需O (1)的
时间复杂度根据前缀和的特性，在(x1,y1)-(x2,y2)区域内，差分影响的是整个黄色区域，多影响两个蓝色部分。绿色区域是两个蓝色区域重叠的部分，所以要加上与一块蓝色区域操作的反操作（即补上）。
- 若使左上(x1,y1)到右下(x2,y2)区域内所有元素加上p
dif[x1][y1] += p,dif[x1][y2 + 1] -= p,dif[x2][y1 + 1] -= p,dif[x2 + 1][y2 + 1] += p
- 反之使左上(x1,y1)到右下(x2,y2)区域内所有元素减上p
dif[x1][y1] -= p,dif[x1][y2 + 1] += p,dif[x2][y1 + 1] += p,dif[x2 + 1][y2 + 1] -= p
一维前缀和
| 定义式 | 递推式 | |
|---|---|---|
| 一维前缀和 | ||
| 二位前缀和 |
二维前缀和
- 根据定义的矩阵前缀和，任意一点代表dp[i][j]（1，1）到（i，j）左上角和右下角所组成矩阵的和
- 二维前缀和就包含两个步骤，一是预处理，先使得矩阵的每个点都符合定义的状态，二是求值处理，求任意两点坐标所围成矩阵的和。其中预处理，当前dp[i][j]为map[i][j]元素加上dp[i - 1][j]和dp[i][j - 1]再减去重复绿色区域，如此循环。求值处理，在已经做完预处理的前提下，求任两点所围成矩形包括的各点之和。如上图的紫色区域，因为我们定义的状态是包括边的，所以紫色区域=整块黄色区域-蓝色区域+多减去的绿色区域。
- 即所求的为dp[x2][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1]
- 预处理
for(int i = 1;i <= n; i++)//预处理一波
for(int j = 1;j <= m; j++)
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] +map[i][j];
- 求值处理（假设求(x1,y1)和(x2,y2)所包围的矩阵之和）
int x1, x2, y1, y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
cout << (dp[x2][y2] + dp[x1 - 1][y1 - 1] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1])<< endl;//O（1）查询
刚学完肯定要做几道例题（嚣张）看看
1002.二哥种花生
经典二维前缀和题目
以下是AC代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
ll map2[1005][1005], temp[1005][1005];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i = 1; i <= n; ++i){
for(int j = 1; j <= m; ++j){
cin >> map2[i][j];
}
}
for(int i = 1; i <= n; ++i){
for(int j = 1; j <= m; ++j){
map2[i][j] += map2[i - 1][j] + map2[i][j - 1] - map2[i - 1][j - 1];
}
}
int a, b;
cin>>a>>b;
ll ans = 0;
for(int x1 = 1; x1 <= n; ++x1){
for(int y1 = 1 ; y1 <= m; ++y1){
int x2 = x1 + a - 1;
int y2 = y1 + b - 1;
if(x2 <= n && y2 <= m)
ans = max(ans, map2[x2][y2] + map2[x1 - 1][y1 - 1] - map2[x2][y1 - 1] - map2[x1 - 1][y2]);
}
}
cout<<ans<<endl;
}
牛妹吃豆子
二维前缀和与差分相结合例题,注意第一次的前缀和配合差分得出真的矩阵，第二次前缀和才是预处理
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
ll dp[2005][2005];
int main()
{
int n,m,k,q;
cin>>n>>m>>k>>q;
int x1, y1, x2, y2;
while(k--){
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;//x2,y1
dp[x1][y1] += 1;
dp[x1][y2 + 1] -= 1;
dp[x2 + 1][y1] -= 1;
dp[x2 + 1][y2 + 1] += 1;
}
for(int i = 1 ; i <= n; ++i){
for(int j = 1 ; j <= m ; ++j){
dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1];
}
}
for(int i = 1 ; i <= n; ++i){
for(int j = 1 ; j <= m ; ++j){
dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1];
}
}
while(q--){
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
ll ans = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
cout<<ans<<endl;
}
}
Gundam Unicorn
经典二维前缀和水题 注意下边界就好了~
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n, m;
int w,h;
while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){
int ai[35][35];
int bi[35][35];
int ans = 0;
for(int i = 1 ; i <= m;++i){
for(int j = 1 ; j <= n; ++j){
cin>>ai[i][j];
}
}
for(int i = 1 ; i <= m;++i){
for(int j = 1 ; j <= n; ++j){
bi[i][j] = ai[i][j] + bi[i - 1][j] + bi[i][j - 1] - bi[i - 1][j - 1];
}
}
cin >> w >> h;
for(int x1 = 1 ; x1 <= m; x1++){
for(int y1 = 1 ; y1 <= n; y1++){
int x2 = min(x1 + h - 1, m);
int y2 = min(y1 + w - 1, n);
if(x2 <= m && y2 <= n)
ans = max(ans, bi[x2][y2] - bi[x2][y1 - 1] - bi[x1 - 1][y2]+ bi[x1 - 1][y1 - 1]);
}
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
参考博文：https://blog.csdn.net/qq_34990731/article/details/82807870
参考博文：https://www.cnblogs.com/LMCC1108/p/10753451.html