Atcoder ARC062F - AtCoDeerくんとグラフ色塗り / Painting Graphs with AtCoDeer

Atcoder ARC062F - AtCoDeerくんとグラフ色塗り / Painting Graphs with AtCoDeer

题目描述

简要题意：给定一个有标号的无向图，你可以给每条边染上 $K$种颜色之一，求本质不同的图的染色方案（两个图本质不同定义为不能通过若干次环的旋转使这两个图每条边的染色相同）。

Solution

分类讨论：
倘若是一条单边（不包含在任何环中），则它的颜色任意，方案数为 $K$。

倘若是一个单环（不与其他环的边相交），则环上的颜色要旋转后本质不同，经典的 $Burnside$问题，设环长为 $cnt$，则方案数为 $\sum_{i=0}^{sz-1} k^{gcd(i,sz)}$

倘若是两个或以上的环嵌套，可以发现环上的颜色都是可以互换的，两个嵌套环不同，当且仅当某种颜色的个数不同，因此方案数就是一个插板法，设嵌套环有 $sz$条边，则方案数为 $C(sz+K-1,K-1)$。

#include <vector>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <numeric>
#include <utility>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cassert>
#include <string.h>
//#include <unordered_set>
//#include <unordered_map>
//#include <bits/stdc++.h>

#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define PB(A) push_back(A)
#define SIZE(A) ((int)A.size())
#define LEN(A) ((int)A.length())
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
#define fi first
#define se second

using namespace std;

template<typename T>inline bool upmin(T &x,T y) { return y<x?x=y,1:0; }
template<typename T>inline bool upmax(T &x,T y) { return x<y?x=y,1:0; }

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double lod;
typedef pair<int,int> PR;
typedef vector<int> VI;

const lod eps=1e-11;
const lod pi=acos(-1);
const int oo=1<<30;
const ll loo=1ll<<62;
const int mods=1e9+7;
const int MAXN=600005;
const int INF=0x3f3f3f3f;//1061109567
/*--------------------------------------------------------------------*/
inline int read()
{
	int f=1,x=0; char c=getchar();
	while (c<'0'||c>'9') { if (c=='-') f=-1; c=getchar(); }
	while (c>='0'&&c<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar(); }
	return x*f;
}
vector<int> e[MAXN],V[MAXN];
int fac[MAXN],inv[MAXN],dfn[MAXN],low[MAXN],stk[MAXN],flag[MAXN],top=0,num=0,DFN=0,n,m,k;
inline int quick_pow(int x,int y)
{
	int ret=1;
	for (;y;y>>=1)
	{
		if (y&1) ret=1ll*ret*x%mods;
		x=1ll*x*x%mods;
	}
	return ret;
}
inline void Init(int n)
{
	fac[0]=1; 
	for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mods;
	inv[n]=quick_pow(fac[n],mods-2);
	for (int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mods;
}
inline int upd(int x,int y) { return x+y>=mods?x+y-mods:x+y; }
inline int gcd(int x,int y) { return y==0?x:gcd(y,x%y); }
inline int C(int x,int y) { return 1ll*fac[x]*inv[y]%mods*inv[x-y]%mods; }
inline int Burnside(int n) { int ans=0; for (int i=0;i<n;i++) ans=upd(ans,quick_pow(k,gcd(i,n))%mods); return 1ll*ans*quick_pow(n,mods-2)%mods; }
inline void tarjan(int x,int father)
{
	dfn[x]=low[x]=++DFN;
	stk[++top]=x;
	for (auto v:e[x])
	{
		if (v==father) continue;
		if (!dfn[v])
		{
			tarjan(v,x);
			upmin(low[x],low[v]);
			if (low[v]>=dfn[x])
			{
				int y;
				V[++num].PB(x);
				while (y=stk[top--])
				{
					V[num].PB(y);
					if (y==v) break;
				}
			}
		}
		else upmin(low[x],dfn[v]);
	}
}
int main()
{
	n=read(),m=read(),k=read();
	Init(m+k);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=read(),v=read();
		e[u].PB(v),e[v].PB(u);
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) if (!dfn[i]) tarjan(i,0);
	int ans=1;
	for (int i=1;i<=num;i++)
	{
		if (V[i].size()==2) ans=1ll*ans*k%mods;
		else
		{
			int cnt=0;
			for (int i=1;i<=n;i++) flag[i]=0;
			for (auto x:V[i]) flag[x]=1;
			for (auto x:V[i])
				for (auto v:e[x]) if (flag[v]) cnt++;
			cnt>>=1;
			if (cnt==V[i].size()) ans=1ll*ans*Burnside(cnt)%mods;
			else ans=1ll*ans*C(cnt+k-1,k-1)%mods;
//			cout<<V[i].size()<<" "<<cnt<<" "<<ans<<endl;
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}