【AT2143】Painting Graphs with AtCoDeer

放个链接：AT2143（翻译在讨论中有，也可以直接到AtCoder去看英文题面）

首先对于一条边，分三种情况讨论：
1、不在任何环上，贡献为 $K$ （废话）。
2、在多个互相有交集的点双连通分量中，设 $n$ 为点双连通分量的大小，（实践得出）通过旋转可以使这个点双连通分量中的任意两条边互换，故贡献为 ${n+K-1\choose K-1}$
3、在一个单一点双连通分量上（在一个简单环上）：由Pólya定理可知贡献为$\frac{1}{\left|G\right|}\sum_{g\in G}K^{c(g)}=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^nK^{\gcd(i,n)}$其中 $\left|G\right|=n$ 为置换群的模， $c(g)$ 为置换 $g$ 的循环节个数（这里的置换即一次旋转操作）。
那为啥 $c(g)=\gcd(i,n)$ ？我们的 $i$ 在这里还有一层含义：将置换按旋转格数排序后， $i$ 为顺时针旋转的格数。所以在变换 $g_i$ 下，原本位置为 $a$ 的边的位置会变为 $(a+i)\mod n$ 。因此对于每条原本在 $a_j$ 位置的边都需要 $\frac{\mathrm{lcm}(i,n)}{n}$ 次旋转回到原位。而使得 $\frac{\mathrm{lcm}(i,n)}{n}$ 相等的 $i$ 的个数也是 $\frac{\mathrm{lcm}(i,n)}{n}$ ，故循环节的长度为 $\frac{i}{\frac{\mathrm{lcm}(i,n)}{n}}=\frac{ni}{\mathrm{lcm}(i,n)}=\gcd(i,n)$。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<set>
#include<stack>

using namespace std;

const long long p=1000000007ll;
long long ans=1ll,fact[201],invfact[201];
int N,M,K,x,y,idx,low[51],dfn[51];
stack<int> s;
set<int> tmp;
vector<int> point[51];

long long qpow(long long a,int x){
    long long s=1ll;
    while(x){if(x&1)(s*=a)%=p;(a*=a)%=p;x>>=1;}
    return s;
}

inline long long C(int n,int m){return fact[n]*invfact[m]%p*invfact[n-m]%p;}

void dfs(int u,bool root=false){
    low[u]=dfn[u]=++idx;s.push(u);
    for(int v:point[u])if(!dfn[v]){
        dfs(v);low[u]=min(low[u],low[v]);
        if(low[v]==dfn[u]){
            tmp.clear();int cnt=1,siz=0,lst;
            do tmp.insert(lst=s.top()),s.pop(),++cnt;while(lst!=v);tmp.insert(u);
            for(int x:tmp)for(int y:point[x])if(tmp.count(y))++siz;
            if((siz>>=1)<cnt)(ans*=K)%=p;else if(siz==cnt){long long sum=0ll;for(int i=0;i<cnt;++i)(sum+=qpow(K,__gcd(i,cnt)))%=p;(ans*=sum*qpow(cnt,p-2)%p)%=p;}else (ans*=C(siz+K-1,K-1))%=p;
        }
    }else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    if(root)s.pop();
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);
    fact[0]=invfact[0]=1ll;for(int i=1;i<=M+K;++i)fact[i]=fact[i-1]*i%p;invfact[M+K]=qpow(fact[M+K],p-2);for(int i=M+K-1;i;--i)invfact[i]=invfact[i+1]*(i+1)%p;
    for(int i=1;i<=M;++i)scanf("%d%d",&x,&y),point[x].push_back(y),point[y].push_back(x);
    for(int i=1;i<=N;++i)if(!dfn[i])dfs(i,true);
    printf("%lld",ans);
}