1. N-GRAM
定在应用中，需要计算一个句子的概率，一个句子是否合理就看他的可能性大小，这里的可能性大小就是用概率来衡量：
如在机器翻译中：
P(high winds tonite) > P(large winds tonite)
拼写检查中：
上面的例子显示了计算一个句子的概率来判断它是否合理，下面用概率语言进行描述：
我们需要计算一个序列句子的概率： P(W)=P(w1,w2,w3,w4,w5....wn)
其中我们也需要计算一个相关的任务，比如P(W5|w1,w2,w3,,w4)表示在w1234后出现w5的概率，即下一个词出现的概率。
像这样计算P（W）或者P（wn|w1,w2...）的模型叫做语言模型(language model 简称LM）。通俗来看，语言模型其实就是看一句话是不是人说出来的，如果用机器翻译出现若干候选项后，可以使用语言模型挑选一个最靠谱的结果。
如何计算P（W）呢？用条件概率的链式规则，链式规则常常用来评估随机变量的联合概率，规则如下：
即：
按照链式规则，举个例子：
可是事实上，如果这样计算，实际上是不行的，原因有2个：
1.直接这样计算会导致模型的参数空间过大，一个语言模型的参数就是所有的这些条件概率，试想;假设词典大小为|V|，则按上面的方式计算 :P(w5|w1,w2,w3,w4)，每一个wi的取值都有词典大小种，即|wi|=|v|,这样光是计算Count(w1w2w3w4w5)就有|V|^5个参数，而且这还不包括P（w4|w1,w2,w3）的个数，可以看到这样计算条件概率会使得参数个数太多。
2.数据稀疏严重。如果按照这样计算，比如计数分子its water is so transparent,这种句子出现的次数是很少的，这样计算的结果会使得过多的条件概率趋近于0，因为我们没看到足够的文本来统计。
因此，通过马尔科夫假设进行化简上面的计算：马尔科夫假设是指： 假设第wi个词语只与它前面的k个词语相关，这样我们就得到前面的条件高绿计算简化如下：
这样我们的P（W）计算化简如下：
当k=0时，这时候对应的模型叫做一元模型(Unigram model),即wi与前面的0个词相关，也就是wi不与任何词相关，每个词之间互相独立，
P(W)计算如下：
当k=1时，对应的模型叫做二元模型(Bigram model)，此时wi与它前面一个词相关，P(W)计算如下：
当k=N-1，模型成为n元模型，即N-Gram。
总的来说，N-gram模型有一些不足，因为有些语句存在一个长依赖关系，如：
the computer which i had just put into the machine rom on the fifth floor crashed.
这句话中，假如我们要预测crashed出现的概率，采用二元模型的话，则crash与floor并没有什么相关，得到的可能性就会很小，而crashed与主语computer的相关性很大，但是n-gram没有捕捉到这个信息。
参数估计
要计算出模型中的条件概率，这些条件概率也称为模型的参数，得到这些参数的过程称为训练。用最大似然法估计下面的条件概率：
其中C(wi-1)表示wi-1出现的次数，是count的首字母c，举个例子：
其中<s></s>分别表示一个句子的开头和结束，计算这段文本的二元模型如下：
就是简单的计数然后相除
再看一个例子，这个例子来自大一点的语库(下面表格就画出一部分词)，为了计算对应的二元模型的参数P(wi|wi-1)，我们要先计算出C(wi-1,wi)，然后计算出C（wi-1），再用除法获得条件概率。可以看到对于C(Wi-1,wi)来说，wi-1有语库词典大小(记作|V|)的可能取值，Wi也是，（因为Wi可以为语库中任意一个单词，所以有|V|种可能）
所以C(wi-1,wi)要计算的个数有|V|^2. 如下图所示：
C(wi-1的计算结果如下)：
那么二元模型的参数计算结果如下：
比如：计算P(want|I)=0.33如下：
P(<s>i want english food </s>)=P（want | i）✖️P(english | want)✖️P(food | english) ✖️P(</s>| food)=0.000031
我们再看下二元模型所捕捉到的一些实际信息：
实际上常常在对数空间里面计算概率，原因有2个：
1.防止溢出，可以看到，如果计算的句子稍微长点，那么最后得到的概率会很小，甚至会溢出，通过取log，可以让值变大，不会溢出(如0.001，取完log为-3)
2.对数空间里面加法可以代替乘法，log(p1 p2)=log p1 + log p2，这样计算更快。
建立N-GRAM模型这里老师推荐了开源工具包，SRILM（ http://www.speech.sri.com/projects/srilm/），以及开源的N-GRAM数据集：http://ngrams.googlelabs.com/
语言模型的评价：
一般来说，我们在训练集上得到语言模型的参数(即各个条件概率)，在测试集里面测试模型的性能，那么如何去衡量一个语言模型的好坏呢？比较两个模型AB的好坏，一种外在评价就是讲AB放在一个具体任务中看看那个准确率高，但是这样方法的缺点是过于耗时，在实际情况中往往需要花费过多的时间才能得到结果。另一种方式是使用下面介绍的困惑度，但是注意：困惑度并不是上述外在评价的一个好的近似，所以一般使用在试点实验上。所谓试点实验就是一个小规模的初步研究，来评估一些性能。
困惑度
困惑度的基本评价方式是对测试集赋予高概率值的模型更好，一个句子的困惑度(PP)定义如下：
对于二元模型，该公式为：
可以看到，概率越大，困惑度越小，即小的困惑度等于号的模型，且当wi之间相互独立时(一元模型)，且各个概率均为P时，公式为：
比如计算一个只包含0-9数字序列的困惑度，每个数字发生的概率是1/10.那么我们得到困惑度PP（W）=10.
数据稀疏问题
数据稀疏问题，就是由于有限的语句，产生了0概率问题，从前面一个例子来看：
这个二元模型里面也是相当多的条件概率为0
我们再来看个例子：
在某个训练集中：
从这个训练集中，我们训练得到模型，因为denied the offer在训练集中从没发生过，所以：
P(offer|denied the)=0
测试集如下：
。。。。denied the offer
，，，，denied the loan
当我们用这个模型测试时，结果上面2个概率均为0，模型试图说明这个句子不太可能出现，而事实上他只是没有出现在训练集中，所以N-Gram通常只有在训练集与测试集很相似时预测结果才比较好，而这里出现的0概率问题，也会导致无法计算困惑度，因为分母会变成0.解决N-Gram的0概率问题是很有必要的，下面讨论一些方法：
平滑方法：
平滑方法是用来解决上面语言模型的0概率问题，它的解决问题的基本思想是：把在训练集中看到的概率分一点给未看到的，并保持概率和为1.我们看一个例子图：对某个训练集，计算P(w | denied the)后的统计图：
经过平滑方法后，就变成了：
下面看一些具体的平滑算法：
1. Laplace平滑
又称为加1平滑，加1是由于其基本思想是保证所有计数结果至少出现1次，比如二元模型：
这里V是语库词汇量的大小，可以想想为什么分母要加V，因为要保证概率和为1啊。即固定w,对于某个条件概率P(Wi | W)要有：
p(w1|w)+p(w2|w)+...=1
即：
现在分子上每一个计数都+1了，那么所有分子一共加了V个1，这样分母就也要+V才可以使得和为1
现在用Laplace平滑来将前面的例子重新计数：
可以看到每行的各个值都+1了，同理C(Wi)中每个值都加了V
最后得到的概率为：(注：语库词汇大小不止表格画出的，表格就画出了一部分词作为例子)
我们最开始讲的平滑算法，都是将看见的概率分一点给未看见的，我们重新计数以下，看看到底分了多少：现在利用平滑后的概率计算新的计数：
利用这个公式，我们来看看各个词都被分了多少：
可以看到，对于语言模型，加1平滑并不是一个好的平滑方法，因为它将某些原来的计数大幅度消减用来补偿那些未看见的计数。但是某些情况，它还是效果不错的。
删除插值
删除插值使用线性插值的手段，将高阶模型和低阶模型做线性组合，例如计算三元语法时，把一元语法，二元语法和三元语法结合起来，每种语法用线性权值λ来加权，公式如下：
还可以吧每个lambda看成上下文相关的函数，进一步扩展该公式为：(这里没看明白)
为了确定参数λi，将原始语料中一部分作为留存数据(held-out data)，即现在有三个数据集：
用最小化留存数据的困惑度来求得λi：
1.求出training data初始模型，并初始化λi
2.数据集选择留存数据，选择λi使得下面的概率最大化：
Stupid backoff
backoff是退避的意思，回退的含义是比如要计算P(Wn| Wn-2,Wn-1)，但是没有相关的三元统计，就可以使用二元语法来估计它。如果没有相关的二元统计，那么就用一元语法来估计它。对于一些庞大的语料库，比如google N-gram语料库，不能直接拿来用，需要进行剪枝，缩小其规模，如：仅仅使用出现概率大于阈值的n-gram，去掉一些高阶的n-grams等，另外在存储效率上，也可以改变存储的数据结构，改变数据类型等方法。对于这类大规模语料建立的语言模型，所用的平滑方法叫做Stupid backoff：
更好的平滑算法：
前面介绍了加一平滑，效果不是很好，更一般的，我们有加K平滑，形式如下：
其中分母V仍然是语料词汇量的大小。
现在把这个式子转换一下：
令： m=KV
将m带入加k平滑算法中：
再得到如下公式，与一元模型概率相关：(如何推导？)
Unigram Prior平滑效果比较好，但是对于语言模型来说还不够好。下面介绍Good-Turing，Kneser-Ney，Witten-Bell，这几种平滑算法都是用我们只出现一次的计数去估计未看见的
Good-Turing(古德-图灵)平滑算法
Good-Turing估计是许多数据平滑技术的核心。它的基本思想是：将统计参数按出现次数聚类（如果 #(xj ) = #(xj‘), then θ[j] = θ[j’]），出现一次的多少，出现两次的多少，等等，然后用出现次数加一的类来估计当前类。比如，用出现次数为n+1的类来估计出现次数为n的类。
先介绍一个记号Nc=频数c的频数，举个例子，对于如下文本：
Sam I am I am Sam I do not eat
分别统计每个单词的出现次数：
I =3 Sam =2 am=2 do = 1 not = 1 eat =1
那么可以得到：N1=3(出现次数为1的单词有3个) N2=2 N3=1 ，那么c*Nc=频数为c的次数(即出现次数为c的单词共出现了几次)
Good-Turing估计θ(r)为：
首先必须保证所有元素出现的概率的和应该是1.
由于
所以
对于Good-Turing估计的具体推导，请点击阅读原文或是参考 http://www.cs.cornell.edu/courses/cs6740/2010sp/guides/lec11.pdf
了解这个之后，再举个例子来直观地理解Good-Turing，假设现在某人在钓鱼且结果如下：
10 carp，3 perch， 2 whiteFish， 1 trout， 1 salmon ， 1 eel=18 fish
那么下一条鱼是trout的概率是多少呢？因为上面trout出现了一次，所以概率为1/18.那么下一条鱼是新品种的鱼的概率呢？
因为Good-Turing是将看过一次的计数去估计未看见的，上面N1=3，所以概率是3/18，如果用这样的假设的话，只看过一次的概率就要打折分给未看见的，所以前面第一个问题下一条鱼的概率一定会小于1/18，下面看一下Good-Turing计算公式：
其中 ： 
所以对下一条是未看见的鱼的种类的概率：
那么下一条是仅看过一次的鱼种类的概率就如下计算：
