应用数理统计总结

应用数理统计复习课总结

一、主要内容

下面记录的是按照老师复习的时候所讲的顺序，侧重点不同，所以跟之前上课的章节的顺序上有些偏差

• 随机变量的数字特征(期望、方差以及协方差的性质)——讲了例题和扩展题 (随机变量的向量的向量的协方差矩阵的计算)重点掌握方差公式及其变形形式
• 三大分布（卡方分布、t分布、F分布）——只是简单的提了一下，要知道形式以及对应的图，求分位点的时候，会对应查表
• 常用统计量+无偏性和有效性——通过样本修正方差和样本均值两个常用统计量来讲无偏估计的思想，并提到了两个重要的计算技巧
• 矩估计和极大似然估计——给了矩估计的例题，让我们用极大似然估计重新算，然后又给了两个题
• 区间估计——区间估计的推导和例题计算

二、详细内容

2.1 随机变量的数字特征(期望、方差以及协方差的性质)

2.1.1 期望

2.1.2 方差

2.1.3 协方差

2.1.4 期望、方差、协方差的性质

2.1.5 例题及扩展题

（1）原例题

（2）扩展题

2.2 三大分布（卡方分布、t分布、F分布）

这里只是口头简单的提了一下，要知道形式以及对应的图，求分位点的时候，会对应查表

2.3 常用统计量+无偏性和有效性

通过样本修正方差和样本均值两个常用统计量来讲无偏估计的思想，并提到了两个重要的计算技巧

2.3.1 重要的两个常用统计量

• 样本均值： $\bar x=\frac{1}{n}\sum\limits_i^nx_i$
• 样本方差： $S^{2}=\frac{1}{n}\sum\limits_i^n(x_i-\bar x)^2$
• 样本修正方差 ： $S^{*2}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_i^n(x_i-\bar x)^2=\frac{nS^2}{n-1}$

说明：我们使用样本修正方差而不用样本方差，因为样本修正方差是无偏的，即 $E(S^{*2})=\sigma^2$

2.3.2 无偏性

2.3.3 有效性

2.3.4 课堂练习题

（1）已知 $\bar x=\frac{1}{n}\sum\limits_i^nx_i$，求 $E(\bar x^2)$

（2）已知 $S^{*2}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_i^n(x_i-\bar x)^2$,证明样本修正方差是无偏的，即 $E(S^{*2})=\sigma^2$

其中用到的公式：

2.4 矩估计和极大似然估计

给了矩估计的例题，让我们用极大似然估计重新算，然后又给了两个题

2.4.1 例题

（1）极大似然估计例题

（2）矩估计例题

2.4.2 课堂习题——用极大似然估计

2.4.3 课后习题——分别用两种方法做

2.5 区间估计

2.5.1 正态总体均值μ的区间估计

2.5.2 正态总体方差 $\sigma$的区间估计

例题

2.5.3 两个正态总体均值差的区间估计

例题

2.5.4 两个正态总体方差的区间估计