20应用统计考研复试要点(part17)--概率论与数理统计

学习笔记，仅供参考，有错必纠

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茆诗松概率论与数理统计

随机事件与概率

随机事件及其运算

• 随机现象

在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

随机现象有两个特点：

1. 结果不止一个；
2. 哪一个结果出现，人们事先并不知道.

只有一个结果的现象称为确定性现象。

必然事件和不可能事件结果只有1个，所以不是随机事件，它们在本书中作为随机事件的两个端点。

• 随机试验

对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验。随机试验具有重复性、结果可知性和随机性。

• 样本空间

随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为 $\Omega=\{ \omega \}$，其中 $\omega$表示基本结果，又称为样本点。

样本空间需要列出所有的样本点。

需要注意的是：

1. 样本空间中的元素可以是数也可以不是数；
2. 样本空间至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间；
3. 从样本空间含有样本点的个数来区分，样本空间可分为有限与无限两类。

我们往往将样本点的个数为有限个或可列个的情况归为一类，称为离散样本空间，而将样本点的个数为不可列无限个的情况归为另一类，称为连续样本空间。

• 随机事件

随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母 $A,B,C...$表示。

由样本空间 $\Omega$中的单个元素组成的子集称为基本事件，而样本空间 $\Omega$的最大子集(即 $\Omega$本身)称为必然事件，样本空间 $\Omega$的最小子集(即空集 $\emptyset$)称为不可能事件.

• 随机变量

用来表示随机现象结果的变量称为随机变量，常用大写字母 $X,Y,Z$表示。

• 事件之间的关系

(1)包含关系

如果属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中，或称B包含A，记为 $A \subset B$或 $B \supset A$，用概率论的语言说：事件A发生必然导致事件B发生。

(2)相等关系

如果事件A与事件B满足：属于A的样本点必属于B，而且属于B的样本点必属于A，即 $A \subset B$且 $B \subset A$，则称事件A与B相等，记为 $A=B$

(3)互不相容

如果A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容。用概率论的语言说：A与B互不相容就是事件A与事件B不可能同时发生。

• 事件间的运算

(1)事件A与B的并

记作 $A \bigcup B$，其含义为，由事件A与B中所有的样本点组成的新事件(相同的只计入一次)，用概率论的语言说：事件A与B中至少有一个发生。

(2)事件A与B的交

记作 $A \bigcap B$，或简记为 $AB$，其含义为，由事件A与B中公共的样本点组成的新事件。或用概率论的语言说：事件A与B同时发生。

(3)事件A对B的差

记作 $A - B$，其含义为，由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件。用概率论的语言说：事件A发生而B不发生。

(4)对立事件

事件A的对立事件，记为 $\overline{A}$，即由在 $\Omega$中而不在A中的样本点组成的新事件，或用概率论的语言说：A不发生，即 $\overline{A}=\Omega - A$

A与B互为对立事件的充要条件是： $A \bigcap B = \emptyset$，且 $A \bigcup B = \Omega$

(5)事件的运算性质

交换律：
$A \bigcup B = B \bigcup A, \; AB=BA$
结合律：
$(A \bigcup B)\bigcup C = A \bigcup (B \bigcup C) \\(AB)C=A(BC)$

分配律：
$(A \bigcup B) C = AC \bigcup BC \\(AB) \bigcup C=(A \bigcup C) (B \bigcup C)$

对偶律(德摩根公式)：

事件并的对立等于对立的交： $\overline{A \bigcup B}=\overline{A} \;\overline{B}$

事件交的对立等于对立的并： $\overline{A B}= \overline{A} \bigcup \overline{B}$

• 事件域

谓的事件域从直观上讲就是一个样本空间中某些子集及其运算(开、交、差、对立)结果而组成的集合类.

来个例子：