机器学习之朴素贝叶斯算法

感谢这位大佬!学习了

朴素贝叶斯（Naive Bayesian）是最为广泛使用的分类方法，它以概率论为基础，是基于贝叶斯定理和特征条件独立假设的分类方法。

一、 概述

1.1 简介

朴素贝叶斯（Naive Bayesian）是基于贝叶斯定理和特征条件独立假设的分类方法，它通过特征计算分类的概率，选取概率大的情况进行分类，因此它是基于概率论的一种机器学习分类方法。因为分类的目标是确定的，所以也是属于监督学习。

Q1：什么是基于概率论的方法？Q1：什么是基于概率论的方法？ 
通过概率来衡量事件发生的可能性。概率论和统计学恰好是两个相反的概念，统计学是抽取部分样本进行统计来估算总体的情况，而概率论是通过总体情况来估计单个事件或者部分事情的发生情况。因此，概率论需要已知的数据去预测未知的事件。 
例如，我们看到天气乌云密布，电闪雷鸣并阵阵狂风，在这样的天气特征(F)下，我们推断下雨的概率比不下雨的概率大，也就是p(下雨)>p(不下雨)p(下雨)>p(不下雨),所以认为待会儿会下雨。这个从经验上看对概率进行判断。 
而气象局通过多年长期积累的数据，经过计算，今天下雨的概率p(下雨)=85%,p(不下雨)=15%p(下雨)=85%,p(不下雨)=15%,同样的，p(下雨）>p(不下雨)p(下雨）>p(不下雨)，因此今天的天气预报肯定预报下雨。这是通过一定的方法计算概率从而对下雨事件进行判断。

Q2:朴素贝叶斯，朴素在什么地方？Q2:朴素贝叶斯，朴素在什么地方？ 
之所以叫朴素贝叶斯，因为它简单、易于操作，基于特征独立性假设，假设各个特征不会相互影响，这样就大大减小了计算概率的难度。

1.2 条件概率与贝叶斯定理

（1）概率论中几个基本概念

事件交和并： 
A和B两个事件的交，指的是事件A和B同时出现，记为A∩BA∩B; 
A和B两个事件的并，指的是事件A和事件B至少出现一次的情况，记为A∪BA∪B。

互补事件：事件A的补集，也就是事件A不发生的时候的事件，记为AcAc。这个时候，要么A发生，要么AcAc发生，P(A)+P(Ac)=1P(A)+P(Ac)=1。

条件概率(conditional probability)： 
某个事件发生时另外一个事件发生的概率，如事件B发生条件下事件A发生的概率： 

P(A|B)=P(A∩B)P(B)P(A|B)=P(A∩B)P(B)

概率的乘法法则（multiplication rule of probability）：  

P(A∩B)=P(A)P(B|A)orP(A∩B)=P(B)P(A|B)P(A∩B)=P(A)P(B|A)orP(A∩B)=P(B)P(A|B)

独立事件交的概率：  
两个相互独立的事件，其交的概率为： 

P(A∩B)=P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B)

更多概率论基本概念，参见： 概率论基本概念

（2）贝叶斯定理（Bayes’s Rule）： 
如果有k个互斥且有穷个事件 
B1,B2⋅⋅⋅，BkB1,B2···，Bk，并且，P(B1)+P(B2)+⋅⋅⋅+P(Bk)=1P(B1)+P(B2)+···+P(Bk)=1和一个可以观测到的事件A，那么有： 

P(Bi|A)=P(Bi∩A)P(A)=P(Bi)P(A|Bi)P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+⋅⋅⋅+P(Bk)P(A|Bk)P(Bi|A)=P(Bi∩A)P(A)=P(Bi)P(A|Bi)P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+···+P(Bk)P(A|Bk)

p(A)p(A)  ：事件A发生的概率； 
p(A∩B)p(A∩B)  :事件A 和事件B同时发生的概率 
p(A|B)p(A|B)  ：表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率，

1.3 朴素贝叶斯分类的原理

朴素贝叶斯基于条件概率、贝叶斯定理和独立性假设原则 
(1)首先，我们来看条件概率原理：

基于概率论的方法告诉我们，当只有两种分类时： 
如果p1(x,y)>p2(x,y)p1(x,y)>p2(x,y)，那么分入类别1 
如果p1(x,y)<p2(x,y)p1(x,y)<p2(x,y)，那么分入类别2

（2）其次，贝叶斯定理 
同样的道理，引入贝叶斯定理，有： 

p(ci|x,y)=p(x,y|ci)p(ci)p(x,y)p(ci|x,y)=p(x,y|ci)p(ci)p(x,y)

其中， x,yx,y 表示特征变量， cici 表示分类， p(ci|x,y)p(ci|x,y) 即表示在特征为 x,yx,y 的情况下分入类别 cici 的概率，因此，结合条件概率和贝叶斯定理，有：

• 如果p(c1|x,y)>p(c2|x,y)p(c1|x,y)>p(c2|x,y)，那么分类应当属于c1c1；
• 如果p(c1|x,y)<p(c2|x,y)p(c1|x,y)<p(c2|x,y)，那么分类应当属于c2c2；

贝叶斯定理最大的好处是可以用已知的三个概率去计算未知的概率，而如果仅仅是为了比较p(ci|x,y)和p(cj|x,y)p(ci|x,y)和p(cj|x,y)的大小，只需要已知两个概率即可，分母相同，比较p(x,y|ci)p(ci)p(x,y|ci)p(ci)和p(x,y|cj)p(cj)p(x,y|cj)p(cj)即可。

（3）特征条件独立假设原则

朴素贝叶斯最常见的分类应用是对文档进行分类，因此，最常见的特征条件是文档中，出现词汇的情况，通常将词汇出现的特征条件用词向量 ωω表示，由多个数值组成，数值的个数和训练样本集中的词汇表个数相同。 
因此，上述的贝叶斯条件概率公式可表示为： 

p(ci|ω)=p(ω|ci)p(ci)p(ω)p(ci|ω)=p(ω|ci)p(ci)p(ω)

前面提到朴素贝叶斯还有一个假设，就是基于 特征条件独立的假设 ，也就是我们姑且认为词汇表中各个单词独立出现，不会相互影响，因此， p(ω|ci)p(ω|ci) 可以将 ωω 展开成独立事件概率相乘的形式，因此： 

p(ω|ci)=p(w0|ci)p(w1|ci)p(w2|ci)......p(wN|ci)p(ω|ci)=p(w0|ci)p(w1|ci)p(w2|ci)......p(wN|ci)

这样，计算概率就简单太多了。

1.4 朴素贝叶斯分类的流程和优缺点

（1）分类流程

1.数据准备：收集数据，并将数据预处理为数值型或者布尔型，如对文本分类，需要将文本解析为词向量 
2.训练数据：根据训练样本集计算词项出现的概率，训练数据后得到各类下词汇出现概率的向量 
3. 测试数据：用测试样本集去测试分类的准确性

（2） 优缺点 
1. 监督学习，需要确定分类的目标 
2. 对缺失数据不敏感，在数据较少的情况下依然可以使用该方法 
3. 可以处理多个类别 的分类问题 
4. 适用于标称型数据 
5. 对输入数据的形势比较敏感 
6. 由于用先验数据去预测分类，因此存在误差

二、Python算法实现

以在线社区的留言板评论为例，运用朴素贝叶斯分类方法，对文本进行自动分类。

构造一些实验样本，包括已经切分词条的文档集合，并且已经分类（带有侮辱性言论，和正常言论）。为了获取方便，在bayes.py中构造一个loadDataSet函数来生成实验样本。

def loadDataSet():
    postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
                 ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
                 ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
                 ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
                 ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
                 ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]
    classVec=[0,1,0,1,0,1] #1表示侮辱性言论，0表示正常言论
    return postingList,classVec

• 
  

2.1 根据文档词汇表构建词向量

(1)构建词汇表生成函数creatVocabList：

def createVocabList(dataSet):
    vocabSet=set([])
    for document in dataSet:
        vocabSet=vocabSet|set(document) #取两个集合的并集
    return list(vocabSet)

• 
  

(2)对输入的词汇表构建词向量

#词集模型
def setOfWords2Vec(vocabList,inputSet):
    returnVec=zeros(len(vocabList)) #生成零向量的array
    for word in inputSet:
        if word in vocabList:
            returnVec[vocabList.index(word)]=1 #有单词，则该位置填充0
        else: print('the word:%s is not in my Vocabulary!'% word)
    return returnVec #返回全为0和1的向量

• 
  

这种构建词向量的方法，只记录了每个词是否出现，而没有记录词出现的次数，这样的模型叫做词集模型，如果在词向量中记录词出现的次数，没出现一次，则多记录一次，这样的词向量构建方法，被称为词袋模型，下面构建以一个词袋模型的词向量生成函数bagOfWord2VecMN:

#词袋模型
def bagOfWords2VecMN(vocabList,inputSet):
    returnVec=[0]*len(vocabList)
    for word in inputSet:
        if word in vocabList:
            returnVec[vocabList.index(word)]+=1
    return returnVec #返回非负整数的词向量

2.2 运用词向量计算概率

再看前文提到的朴素贝叶斯的原理，要计算词向量ω=(ω0,ω1,ω2,...ωN,)ω=(ω0,ω1,ω2,...ωN,)，落入cici类别下的概率: 

p(ci|ω)=p(ω|ci)p(ci)p(ω)p(ci|ω)=p(ω|ci)p(ci)p(ω)

p(ci)p(ci)好求，用样本集中，cici的数量/总样本数即可 
p(ω|ci)p(ω|ci)由于各个条件特征相互独立且地位相同，p(ω|ci)=p(w0|ci)p(w1|ci)p(w2|ci)......p(wN|ci)p(ω|ci)=p(w0|ci)p(w1|ci)p(w2|ci)......p(wN|ci)，可以分别求p(w0|ci),p(w1|ci),p(w2|ci),......,p(wN|ci)p(w0|ci),p(w1|ci),p(w2|ci),......,p(wN|ci)，从而得到p(ω|ci)p(ω|ci)。

而求p(ωk|ci)p(ωk|ci)也就变成了求在分类类别为cici的文档词汇表集合中，单个词项ωkωk出现的概率，也就是 

p(ωk|ci)=ωk在ci中出现的次数ci中词总数p(ωk|ci)=ωk在ci中出现的次数ci中词总数

因此计算出现概率大致有这么一些流程： 

是用Python代码实现，创建函数TrainNB：

def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):
    numTrainDocs=len(trainMatrix) #文档数目
    numWord=len(trainMatrix[0]) #词汇表词数目
    pAbusive=sum(trainCategory)/len(trainCategory) #p1,出现侮辱性评论的概率
    p0Num=zeros(numWord);p1Num=zeros(numWord)
    p0Demon=0;p1Demon=0
    for i in range(numTrainDocs):
        if trainCategory[i]==0:
            p0Num+=trainMatrix[i] #向量相加
            p0Demon+=sum(trainMatrix[i]) #向量中1累加求和
        else:
            p1Num+=trainMatrix[i]
            p1Demon+=sum(trainMatrix[i])
    p0Vec=p0Num/p0Demon
    p1Vec=p1Num/p1Demon
    return p0Vec,p1Vec,pAbusive

• 
  

解释： 
1.pAbusive=sum(trainCategory)/len(trainCategory)，表示文档集中分类为1的文档数目，累加求和将词向量中所有1相加，len求长度函数则对所有0和1进行计数，最后得到分类为1的概率 
2.p0Num+=trainMatrix[i];p0Demon+=sum(trainMatrix[i])，前者是向量相加，其结果还是向量，trainMatrix[i]中是1的位置全部加到p0Num中，后者是先求和（该词向量中词项的数目），其结果是数值，表示词项总数。 
3.p0Vec=p0Num/p0Demon，向量除以数值，结果是向量，向量中每个元素都除以该数值。

• 算法漏洞： 
  
  1. 乘积为0 
     我们看到，当某分类下某词项出现频次为0时，其概率也是0，因此在计算p(w0|ci)p(w1|ci)p(w2|ci)......p(wN|ci)p(w0|ci)p(w1|ci)p(w2|ci)......p(wN|ci)会因为其中某个的概率为0而全部是0。 
     为了避免这样的情况发生，我们将所有词项出现的频次都初始化为1，某类所有词项数量初始化为2。
  2. 因子太小导致结果溢出问题 
     由于p(w0|ci)p(w1|ci)p(w2|ci)......p(wN|ci)p(w0|ci)p(w1|ci)p(w2|ci)......p(wN|ci)中每个因子都很小，所有因子相乘，特别是因子数量多的时候，会导致结果溢出，从而得到错误的数据 
     避免溢出问题的发生，可以使用求自然对数的方法，自然对数和原本的数值同增同减，不会有任何损失，因此不会影响求得的概率结果。

因此，将朴素贝叶斯分类器函数修改为：

def trainNB1(trainMatrix,trainCategory):
    numTrainDocs=len(trainMatrix)
    numWord=len(trainMatrix[0])
    pAbusive=sum(trainCategory)/len(trainCategory)
    p0Num=ones(numWord);p1Num=ones(numWord)# 初始化为1
    p0Demon=2;p1Demon=2 #初始化为2
    for i in range(numTrainDocs):
        if trainCategory[i]==0:
            p0Num+=trainMatrix[i]
            p0Demon+=sum(trainMatrix[i])
        else:
            p1Num+=trainMatrix[i]
            p1Demon+=sum(trainMatrix[i])
    p0Vec=log(p0Num/p0Demon) #对结果求对数
    p1Vec=log(p1Num/p1Demon) #对结果求自然对数
    return p0Vec,p1Vec,pAbusive

• 1
• 2
• 3
• 4
• 
  

2.3 运用分类器函数对文档进行分类

前文概率论讲到，计算文档在各类中的概率，取较大者作为该文档的分类，所以构建分类函数classifyNB:

def classifyNB(vec2Classify,p0Vec,p1Vec,pClass1):
    p1=sum(vec2Classify*p1Vec)+log(pClass1)
    p0=sum(vec2Classify*p0Vec)+log(1-pClass1)
    if p1>p0:
        return 1
    else:
        return 0

• 
  

说明： 
p1=sum(vec2Classify*p1Vec)+log(pClass1) 的数学原理是ln(a*b)=ln(a) +ln(b)

接下来构造几个样本，来测试分类函数：

def testingNB():
    listPosts,listClasses=loadDataSet()
    myVocabList=createVocabList(listPosts)
    trainMat=[]
    for postinDoc in listPosts:
        trainMat.append(setOfWords2Vec(myVocabList,postinDoc))
    p0V,p1V,pAb=trainNB1(trainMat,listClasses)
    testEntry=['love','my','dalmation']
    thisDoc=setOfWords2Vec(myVocabList,testEntry)
    print(testEntry,'classified as:',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb))
    testEntry=['stupid','garbage']
    thisDoc=array(setOfWords2Vec(myVocabList,testEntry))
    print(testEntry,'classified as:',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb))

完整代码:

    

'''
这里我们只需要将给定单词的文章进行分类,根据朴素贝叶斯公式,分母相同,所以我们只需要计算出分子并比较即可.
即:P(c_i)*P(w|c_i) {c_i的取值为0 和 1 两种},计算过程py是直接按照向量来计算的,也就是通过trainNB1()一下子求出每个单词在
0和1分类中出现的概率.

对于我们要求的文章单词,我们只需要统计出每种单词出现的次数然后与每种单词在01分类中出现的概率相乘,再乘上P(c_i)即可/
'''

from numpy import *
def loadDataSet():
     postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
                 ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
                 ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
                 ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
                 ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
                 ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]
     classVec = [0,1,0,1,0,1] # 1表示存在侮辱性言论,0表示不存在
     return postingList,classVec

#统计出一共有几种单词
def createVocabList(dataSet):
    vocabSet = set([])
    for doc in dataSet:
        vocabSet = vocabSet|set(doc) #取两个集合的并
    return list(vocabSet)

#词集模型,只记录每个词是否出现,不记录词出现的次数.
def setOfWordsVec(vocabList,inputSet):
    returnVec = zeros(len(vocabList)) #生成零向量的列表
    for word in inputSet:
        if word in vocabList:
            returnVec[vocabList.index(word)] = 1 #有单词则该位置为1
        else:
            print ("the word:%s is not in my VocabList" % word)
    return returnVec #返回全为0和1的向量

#词袋模型,即单词出现一次就记录一次,记录每种单词出现的个数
def bagOfWordVecMN(vocabList,inputSet):
    returnVec = [0]*len(vocabList)
    for word in inputSet:
        if word in vocabList:
            returnVec[vocabList.index(word)] += 1
    return returnVec #返回非负整数的词向量

#求出对应的P(c_i)以及每种单词在0 1分类中出现的概率。
def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):
    numTrainDocs = len(trainMatrix) #文档数目
    numWord = len(trainMatrix[0]) #词汇表词数目
    pAbusive = sum(trainCategory)*1.0/len(trainCategory) #p1，出现侮辱词评论的概率
    p0Num = zeros(numWord)
    p1Num = zeros(numWord)
    p0Demon = 0
    p1Demon = 0
    for i in range(numTrainDocs):
        if trainCategory[i] == 0:
            p0Num += trainMatrix[i]
            p0Demon += sum(trainMatrix[i])
        else:
            p1Num += trainMatrix[i]
            p1Demon += sum(trainMatrix[i])
    p0Vec = p0Num/p0Demon
    p1Vec = p1Num/p1Demon
    return p0Vec,p1Vec,pAbusive

def trainNB1(trainMatrix,trainCategory):
    numTrainDocs = len(trainMatrix)
    numWord = len(trainMatrix[0])
    pAbusive = sum(trainCategory)*1.0/len(trainCategory)
    p0Num = ones(numWord) #初始化为1
    p1Num = ones(numWord) #防止某分类下某词的出现次数为0导致概率相乘为0
    p0Demon = 2 #分类1中的单词总数
    p1Demon = 2#分类2中的单词总数.
    for i in range(numTrainDocs):
        if trainCategory[i] == 0:
            p0Num += trainMatrix[i]
            p0Demon += sum(trainMatrix[i])
        else:
            p1Num += trainMatrix[i]
            p1Demon += sum(trainMatrix[i])
    p0Vec = log(p0Num/p0Demon)
    p1Vec = log(p1Num/p1Demon)
    return p0Vec,p1Vec,pAbusive
#通过比较概率大小预测属于哪个分类,哪边概率大属于哪边.
def classifyNB(vec2classify,p0Vec,p1Vec,pClass1):
    p1 = sum(vec2classify*p1Vec) + log(pClass1)
    p0 = sum(vec2classify*p0Vec) + log(1 - pClass1)
    if p1 > p0:
        return 1
    else:
        return 0

def testingNB():
    listPosts,listClasses = loadDataSet()
    myVocabList = createVocabList(listPosts)
    trainMat = []
    for postinDoc in listPosts:
        trainMat.append(bagOfWordVecMN(myVocabList,postinDoc))
    p0V,p1V,pAb = trainNB1(trainMat,listClasses)
    testEntry = ['love','my','You']
    thisDoc = bagOfWordVecMN(myVocabList,testEntry)
    print(testEntry,'classified as:',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb))
    testEntry = ['stupid','garbage']
    thisDoc = bagOfWordVecMN(myVocabList,testEntry)
    print(testEntry,'classified as:',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb))

#测试运行
if __name__ == '__main__':
    testingNB()