公式
并集
$$\left|\bigcup_{i=1}^nS_i\right|=\sum_i|S_i|-\sum_{i<j}|S_i\cap S_j|+\sum_{i<j<k}|S_i\cap S_j\cap S_k|-\cdots+(-1)^{n-1}|S_1\cap \cdots\cap S_n|$$
证明
对于元素$x$，假设它属于的集合为$T_1,T_2,\ldots,T_m$，那么它对答案的贡献为：
$$|\{T_i\}|-|\{T_i\cap T_j|i<j\}|+|\{T_i\cap T_j\cap T_k|i<j<k\}|-\cdots+(-1)^{m-1}|\{T_1\cap T_2\cap \cdots\cap T_m\}|\\=\binom{m}{1}-\binom{m}{2}+\cdots+(-1)^{m-1}\binom{m}{m}=1$$
于是每个元素都只被计算了一次，总和即为并集的大小
交集
$$\left|\bigcap_{i=1}^nS_i\right|=|U|-\left|\bigcup_{i=1}^n\overline{S_i}\right|$$
其中$U$为全集，$\overline{S}$为$S$对$U$的补集
计算时可对右边补集的并进行容斥
证明
若$x\in\bigcup\overline{S_i}$，则$\exists i,x\notin S_i$，即$x$不存在与交集中，贡献为0，反之贡献为1
于是最后总和为交集的大小
例题
错排问题
求出满足以下条件的长度为$n$的排列$p$的个数：$\forall i,p_i\neq i$
解法
考虑容斥：
设$S_i$表示满足$p_i\neq i$的排列$p$的集合，那么题目要求的是$|\bigcap S_i|$
根据公式：
$$Ans=\left|\bigcap_{i=1}^nS_i\right|=|U|-\left|\bigcup_{i=1}^n\overline{S_i}\right|\\=|U|-\sum_i|\overline{S_i}|+\sum_{i<j}|\overline{S_i}\cap\overline{S_j}|-\cdots-(-1)^{n-1}|\overline{S_1}\cap \cdots\cap\overline{S_n}|$$
注意到：
$$\forall a_1<a_2<\cdots<a_m,\left|\bigcap_{i=1}^m\overline{S_{a_i}}\right|=(n-m)!$$
于是：
$$Ans=\sum_{m=0}^n(-1)^m\sum_{a_i<a_2<\cdots<a_m}\left|\bigcap_{i=1}^m\overline{S_{a_i}}\right|=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(n-i)!=n!\sum_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{i!}$$
那么就可以愉快的$O(n)$求了
方格染色问题：
有一个n行m列的方格，初始均为白色，可以选择一些格子染黑，问满足每行每列至少有一个黑格子的方案数
解法
和上题思路差不多，先求出至少有$i$行$j$列没有黑格子的方案数，为$2^{(n-i)(m-j)}$
根据容斥原理：
$$Ans=\sum_{i=0}^n\sum_{i=0}^m(-1)^{(i+j)}\binom{n}{i}\binom{m}{j}2^{(n-i)(m-j)}$$
效率$O(n^2)$