min-max容斥(学习笔记)

min-max容斥：

给定集合S，设max{S}为S中的最大值，min{S}为集合S中的最小值。
那么我们可以得到：
max{S}=∑T⊆S(−1)|T|+1min{T}

证明： 咕咕咕

对于期望来说，min-max容斥同样适用

E(max{x1,x2...xn})=∑S(−1)|S|+1E(min i∈S{xi})

例题：hdu 4336

这道题可以用状压dp来做

但是min-max有更优秀的空间复杂度O(n)

dfs枚举子集来计算   E(min{T})=1∑i∈Tpi

// min-max 容斥 
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 25;
const double eps = 1e-7;

int n;
double ans,p[maxn];

void dfs(int d,double tot,double opt){
    if(d==n){
        if(tot>eps)    // 很关键!! 
            ans+=opt/tot;
        return;
    }
    dfs(d+1,tot+p[d],-opt);
    dfs(d+1,tot,opt);
}

ll read(){ ll s=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0' && ch<='9'){ s=s*10+ch-'0'; ch=getchar(); } return s*f; }

int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf",&p[i]);
        ans=0;
        dfs(0,0,-1); // 枚举子集 
        printf("%.4lf\n",ans);
    }
    return 0;
}