[Nowcoder]2020牛客寒假算法基础集训营题集

一、20200208 第一场

A、honoka和格点三角形

1、链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3002/A

2、题面

honoka最近在研究三角形计数问题。
她认为，满足以下三个条件的三角形是“好三角形”。
1.三角形的三个顶点均为格点，即横坐标和纵坐标均为整数。
2.三角形的面积为 $1\$ 。
3.三角形至少有一条边和 $x\$ 轴或 $y\$ 轴平行。
honoka想知道，在平面中选取一个大小为 $n\ * m\$ 的矩形格点阵，可以找到多少个不同的“好三角形”？由于答案可能过大，请对 $1000000007 \$ 取模。

3、思路

根据题目限制条件，这样的三角形可以分类为：底边水平，底边垂直；每一类底边可以为1也可以为2，所以总共为4类。

以底边垂直且长度为1为例，如图所示，对于n * m的矩形格点阵，存在(n - 1) * m个这样的底边；对于每一个这样的底边，可以找出n个向右延伸的三角形。排除最靠右的两列，总共n * (m - 2) * (n - 1)，同理加上向左延伸的三角形，共有2 * (n - 1) * (m - 2) * n个此类型三角形。

同理，底边垂直长度为2的三角形有2 * (n - 2) * (m - 1) * n个；

底边水平长度为1的三角形也有2 * (m - 1) * (n - 2) * m个，但是由于其中的直角三角形在之前已经被计算过了，所以要稍微修改一下：(m - 1) * (n - 2) * (2 * m - 4)。

同理，底边水平长度为2的三角形有(m - 2) * (n - 1) * (2 * m - 4)个。

答案就是把上述四种三角形加起来。

到现在这道题就做完了，但由于n, m <= 10 ^ 9，计算时超出long long范围，直接相加会溢出（我懒得加了然后就WA了），所以要化成一个合适的形式，因式分解一下就行了。

4、代码

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 #define MOD 1000000007
 5 typedef long long ll;
 6 
 7 ll n, m;
 8 
 9 int main() { 
10     cin >> n >> m;
11     cout << ((2 * m + 2 * n - 4) % MOD) * ((2 * n * m - 3 * n - 3 * m + 4) % MOD) % MOD;
12     return 0;
13 }

B、kotori和bangdream

1、链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3002/B

2、题面

有一天，kotori发现了一个和lovelive相似的游戏：bangdream。令她惊讶的是，这个游戏和lovelive居然是同一个公司出的！
kotori经过一段时间的练习后已经变得非常触，每个音符 $a\$

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 double n, x, a, b;
 5 
 6 int main() { 
 7     cin >> n >> x >> a >> b;
 8     cout << fixed << setprecision(2) << n * (x / 100 * a + (1 - x / 100) * b);
 9     return 0;
10 }

C、

1、链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3002/C

2、题面

3、思路

4、代码

D、hanayo和米饭

1、链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3002/D

2、题面

$n\$

3、思路

$签到题，略。$

4、代码

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 typedef long long ll;
 5 
 6 ll n, o, tot;
 7 
 8 int main() { 
 9     cin >> n;
10     for (int i = 1; i <= n - 1; i++) cin >> o, tot += o;
11     cout << (1 + n) * n / 2 - tot;
12     return 0;
13 }

E、rin和快速迭代

1、链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3002/E

2、题面

rin最近喜欢上了数论。
然而数论实在太复杂了，她只能研究一些简单的问题。
这天，她在研究正整数因子个数的时候，想到了一个“快速迭代”算法。设 $f(x)\$ 为 $x\$ 的因子个数，将 $f\$ 迭代下去，rin猜想任意正整数最终都会变成 $2\$ 。
例如： $f(12)=6，f(6)=4，f(4)=3，f(3)=2 \$ 。
她希望你帮她验证一下。她会给你一个正整数 $n\$ ，让你输出它在迭代过程中，第一次迭代成 $2\$ 的迭代次数。

3、思路

$（本来这也是个签到题吧。。结果我弄了大半天，烦）$

$虽然数据看着很大，n <= 10 ^ 12，但众所周知求n的约数，只需枚举1到sqrt(n)，又根据题意的迭代方式，实际复杂度仅仅只有O(sqrt(n)) = O(10 ^ 6)。然而我首先没注意到如果它是完全平方数的情况，直接枚举完*2，然后就巴拉巴拉弄了好久，人傻了。最近码力明显下滑了。$

$不过这题又非暴力解法，由“约数个数定理”得：$

这样就有了另一种思路，按下不表。

4、代码

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 typedef long long ll;
 5 
 6 ll n;
 7 
 8 ll work(ll o, ll d) {
 9     if (o == 2) return d;
10     ll x = 0;
11     for (ll i = 1; i <= sqrt(o); i++) x += o % i ? 0 : i * i == o ? 1 : 2;
12     return work(x, d + 1);
13 }
14 
15 int main() {
16     cin >> n;
17     cout << work(n, 0);
18     return 0;
19 }

持续更新中。。。

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