数值计算方法（二）——复化求积公式

数值积分

直接利用某些节点上的函数值计算积分值，将积分求值问题归结为函数值的计算，可概述为如下公式

复化梯形公式

将区间n等分，每个小区间分别用梯形公式（两个节点）求积分，化简得到如上公式。

/**
 *@name Cotes：复化梯形公式
 *@param1 below：区间下限
 *@param2 upper：区间上限
 *@param3 n：划分子区间的个数
**/
double trapezoid(double below,double upper,int n)
{
	double h=(upper-below)/n;
	double x=below;
	double S=0;
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		//计算内部各节点的函数值 1~(n-1)
		x+=h;
		S+=function(x);
	}
	return (h/2)*(2*S+function(below)+function(upper));
}

复化辛普生公式

同样将区间n等分，每个小区间分别用辛普生公式（两个节点加上中点）求积分，化简得到如上公式。

/**
 *@name Cotes：复化辛普生法
 *@param1 below：区间下限
 *@param2 upper：区间上限
 *@param3 n：划分子区间的个数
**/
double Simpos(double below,double upper,int n)
{
	double h=(upper-below)/n;
	double S1=0;
	double S2=function(below+h/2);
	double x=below;
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		//计算各节点处的函数值 1~(n-1)
		x+=h;
		S1+=function(x);
	}
	x=below+h/2;
	for (int j=1;j<n;j++)
	{
		//计算各区间中点处的函数值 0.5~(n-0.5) 共n项
		x+=h;
		S2+=function(x);
	}

	return (h/6)*(function(below)+function(upper)+2*S1+4*S2);
}

复化柯特斯公式

同样将区间n等分，每个小区间分别用柯特斯公式（两个节点加上三个四等分点）求积分，化简得到如上公式。

/**
 *@name Cotes：复化柯特斯公式
 *@param1 below：区间下限
 *@param2 upper：区间上限
 *@param3 n：划分子区间的个数
**/
double Cotes(double below,double upper,int n)
{
	double h=(upper-below)/n;
	double S1=0;
	double S2=0;
	double S3=0;
	double S4=0;
	double x=below;
	x=(below+h/4);
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		//计算各区间1/4处的值 1/4~(n-3/4)共n项
		S1+=function(x);
		x+=h;
	}

	x=(below+h/2);
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		//计算各区间1/2处的值 1/2~(n-1/2)共n项
		S2+=function(x);
		x+=h;
	}

	x=below+3*h/4;
	for (int i=0;i<n;i++)
	{
		//计算各区间3/4处的值 3/4~(n-1/4)共n项
		S3+=function(x);
		x+=h;
	}

	x=below+h;
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		//计算各区间3/4处的值 1~(n-1)共n-1项
		S4+=function(x);
		x+=h;
	}

	return (h/90)*(7*function(below)+32*S1+12*S2+32*S3+14*S4+7*function(upper));
}