【数值计算方法（黄明游）】数值积分（一）：复化（梯形公式、中点公式）【理论到程序】

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  积分学的基本定理告诉我们，只要能找到 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$，就可以通过 $F(b)-F(a)$ 来求得定积分的值。但实际上，找到 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$ 并不总是容易的事情。有些函数的原函数可能没有简洁的表达式，或者无法通过常见的初等函数表示。
  为了解决这个问题，数值积分方法提供了一种近似计算定积分的途径。这些方法通过离散化积分区间，使用数值技术来估计积分值。下面将介绍一些常见的数值积分方法：

一、梯形公式、中点公式

1. 梯形公式（Trapezoidal Rule）：

  梯形公式是最简单的数值积分方法之一，它基于使用梯形逼近曲线下的面积，其数学表达式为：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$$
通过连接函数图像上的两个端点，形成一个梯形，然后计算梯形的面积来估计定积分值。

2. 复化梯形公式（Composite Trapezoidal Rule）：

  复化梯形公式是对梯形公式的改进，通过将积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间上应用梯形公式，最后将结果相加，其数学表达式为：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{2}[f(a)+2f(x_1)+2f(x_2)+\dots +2f(x_{n-1})+f(b)]$$

其中，$h=(b-a)/n$ 是每个小区间的宽度。

3. 中点公式（Midpoint Rule）：

  中点公式使用区间中点的函数值来逼近曲线下的面积，数学表达式为：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx f\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)$$

4. 复化中点公式（Composite Midpoint Rule）：

  复化中点公式是对中点公式的改进，通过将积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间上应用中点公式，最后将结果相加，数学表达式为：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx h\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+\frac{h}{2}+ih\right)$$

其中，$h$ 是每个小区间的宽度，$n$ 是分割的小区间数量。

二、例题

有一组（x, y）值：
($y=e^x$)
$$\begin{array}{rl}& (1.1,3.0042)\\ & (1.3,3.6693)\\ & (1.5,4.4817)\end{array}$$

• 使用中点公式：$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx (b-a)\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$

  • 这里$a=1.1$，$b=1.5$，所以中点公式为：$${\int }_{1.1}^{1.5}f(x)dx\approx (1.5-1.1)\cdot f\left(\frac{1.1+1.5}{2}\right)=0.4f(1.3)=1.46772$$

• 使用复化梯形公式：$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\dots +2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]$$

  • 这里小区间的宽度 $h=0.2$，代入数据点的 $y$ 值：
    $${\int }_{1.1}^{1.5}f(x)dx\approx \frac{0.2}{2}\left[3.0042+2\cdot 3.6693+4.4817\right]=1.48245$$

三、程序

1. 中点公式

def midpoint_rule(data):
    result = 0
    for i in range(len(data) - 1):
        a, fa = data[i]
        b, fb = data[i + 1]
        result += (b - a) * fb
    return result

2. 梯形公式

def trapezoidal_rule(data):
    result = 0
    for i in range(len(data) - 1):
        a, fa = data[i]
        b, fb = data[i + 1]
        result += (b - a) * (fa + fb) / 2
    return result