求\(\sum_{i=1}^n[(i,n)=1]i^m\)。\(n\)非常大，以质因数分解后的形式给出。
随手反演一波，上面那个式子就是
\[\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}(i\times d)^m=\sum_{d|n}\mu(d)d^m\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}i^m\]
我们发现这有一个自然数幂次方和，众所周知这是一个\(m+1\)多项式，我们可以把系数插出来，之后变成了
\[\sum_{d|n}\mu(d)d^m\sum_{i=0}^{m+1}f_i(\frac{n}{d})^i=\sum_{i=0}^{m+1}f_i\sum_{d|n}\mu(d)d^m(\frac{n}{d})^i\]
不妨设\(g(n,i)=\sum_{d|n}\mu(d)d^m(\frac{n}{d})^i=n^i\sum_{d|n}\mu(d)d^{m-i}\)，这显然是一个积性函数；于是每个质因子是独立的，正好给出了\(n\)的分解式，于是算一下每个质数次幂的值就好了；
\(g(p^a,i)=p^a\sum_{j=0}^a(-1)^jp^{j(m-i)}\)，是一个首项为\(1\)，公比为\((-1)p^{m-i}\)，共\(a+1\)项的等比数列，于是\(g(p^a,i)=p^a\frac{1-[(-1)p^{m-i}]^{a+1}}{1+p^{m-i}}\)
代码先鸽了