bzoj 3601: 一个人的数论 莫比乌斯反演+高斯消元

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题目大意：
给定 $n=p_1^{\alpha_1}*p_2^{\alpha_1}*...*p_w^{\alpha_w}$和 $d$，求
$\sum_{i=1}^{n}i^d[gcd(i,n)==1]$
其中， $d≤100$， $w≤1000$， $p_i$为质数， $p_i,q_i≤10^9$。

分析：
根据题意推式子得到
$ans=\sum_{p|n}\mu(p)*p^d*\sum_{i=1}^{n/p}i^d$
对于最后面的自然数幂和，可以通过高斯消元求出多项式，设多项式为 $a_{d+1}*x^{d+1}+a_d*x^d+...+a_0$.
显然 $a_0=0$，这一位就不用消了（避免出错）。
原式变成
$ans=\sum_{p|n}\mu(p)*p^d*\sum_{i=1}^{d+1}a_i*(n/d)^i$
把 $i$移到前面，得到
$ans=\sum_{i=1}^{d+1}a_i\sum_{p|n}\mu(p)*p^d*(n/d)^i$
我们可以枚举 $i$，当 $i$一定时，后面这些是一个积性函数，我们可以分别计算出每一个 $p_i^{\alpha_i}$的贡献，乘起来即可。而根据 $\mu$的性质，只有 $p=1$和 $p=p_i$时有贡献，这个可以 $O(1)$算出。总复杂度是 $O(wd)$的，另外高斯消元是 $O(n^3)$。

代码：

/**************************************************************
    Problem: 3601
    User: ypxrain
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:812 ms
    Memory:9240 kb
****************************************************************/
 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long
 
const int maxn=1007;
const LL mod=1e9+7;
 
using namespace std;
 
int n,k;
int p[maxn],q[maxn];
LL a[maxn][maxn],b[maxn],r[maxn];
LL sum,ans,num;
 
LL power(LL x,LL y)
{
    if (y==1) return x;
    if (y==0) return 1;
    LL c=power(x,y/2);
    c=(c*c)%mod;
    if (y&1) c=(c*x)%mod;
    return c;
}
 
void guass(int n)
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            if (a[j][i]>a[i][i])
            {
                for (int k=i;k<=n;k++) swap(a[i][k],a[j][k]);
                swap(b[i],b[j]);
            }
        }
        LL inv=power(a[i][i],mod-2);
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            if (i==j) continue;
            LL rate=a[j][i]*inv%mod;
            for (int k=i;k<=n;k++) a[j][k]=(a[j][k]+mod-a[i][k]*rate%mod)%mod;
            b[j]=(b[j]+mod-b[i]*rate%mod)%mod;
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) r[i]=b[i]*power(a[i][i],mod-2)%mod;
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d",&k,&n);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&p[i],&q[i]);
        q[i]=power(p[i],q[i]);
    }   
    for (int i=1;i<=k+1;i++) a[i][1]=i;
    for (int j=2;j<=k+1;j++)
    {
        for (int i=1;i<=k+1;i++) a[i][j]=(a[i][j-1]*(LL)i)%mod;
    }
    for (int i=1;i<=k+1;i++)
    {
        sum=(sum+power(i,k))%mod;
        b[i]=sum;
    }
    guass(k+1);
    for (int i=1;i<=k+1;i++)
    {
        num=1;
        for (int j=1;j<=n;j++)
        {
            LL e=q[j]*power(p[j],mod-2)%mod;
            num=num*((power(q[j],i)+mod-power(p[j],k)*power(e,i)%mod)%mod)%mod;
        }
        ans=(ans+r[i]*num%mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}