[BZOJ3601]一个人的数论

$\newcommand{ali}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}$$\ali{f_d(n)&=\sum\limits_{i=1}^n[(i,n)=1]i^d\\&=\sum\limits_{i=1}^ni^d\sum\limits_{\substack{k|i\\k|n}}\mu(k)\\&=\sum\limits_{k|n}\mu(k)k^d\sum\limits_{i=1}^{\frac nk}i^d}$

自然数幂求和是$d+1$次多项式，设$\sum\limits_{i=1}^ni^d=\sum\limits_{i=1}^{d+1}c_in^i$

$\ali{\sum\limits_{k|n}\mu(k)k^d\sum\limits_{i=1}^{\frac nk}i^d&=\sum\limits_{k|n}\mu(k)k^d\sum\limits_{i=1}^{d+1}c_i\left(\dfrac nk\right)^i\\&=\sum\limits_{i=1}^{d+1}c_i\sum\limits_{k|n}\mu(k)k^d\left(\dfrac nk\right)^i}$

令$H_i(n)=\sum\limits_{k|n}\mu(k)k^d\left(\frac nk\right)^i$，积性函数卷积性函数还是积性函数

所以答案为$\sum\limits_{i=1}^{d+1}c_i\prod\limits_{j=1}^{\omega}H_i\left(p_j^{\alpha_j}\right)$

其中$H_i(p,\alpha)=\sum\limits_{k=0}^\alpha\mu\left(p^k\right)p^{kd}p^{(\alpha-k)i}=p^{\alpha i}-p^{d+\alpha i-i}$

插出$c_i$后直接算即可，总时间复杂度$O(d^2+\omega d)$

#include<stdio.h>
#include<string.h>
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
int mul(int a,int b){return a*(ll)b%mod;}
int ad(int a,int b){return(a+b)%mod;}
int de(int a,int b){return(a-b)%mod;}
int pow(int a,ll b){
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=mul(s,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return s;
}
namespace lar{
	int x[110],y[110],f[110],g[110],h[110],n;
	void work(){
		int i,j,t;
		g[0]=1;
		for(i=0;i<=n;i++){
			for(j=i;j>=0;j--)g[j+1]=g[j];
			g[0]=0;
			for(j=0;j<=i;j++)g[j]=de(g[j],mul(g[j+1],x[i]));
		}
		for(i=0;i<=n;i++){
			memset(h,0,sizeof(h));
			memcpy(h,g,sizeof(g));
			t=1;
			for(j=n;j>=0;j--){
				if(i!=j)t=mul(t,de(x[i],x[j]));
				h[j]=ad(h[j],mul(h[j+1],x[i]));
			}
			t=pow(t,mod-2);
			for(j=0;j<=n;j++)f[j]=ad(f[j],mul(mul(y[i],t),h[j+1]));
		}
	}
}
int p[1010],a[1010],c[110],d;
int H(int i,int p,int a){
	return de(pow(p,(ll)a*i),pow(p,d+(ll)(a-1)*i));
}
int main(){
	int n,i,j,s,t;
	scanf("%d%d",&d,&n);
	for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",p+i,a+i);
	lar::n=d+1;
	for(i=1;i<=d+1;i++){
		lar::x[i]=i;
		lar::y[i]=ad(lar::y[i-1],pow(i,d));
	}
	lar::work();
	for(i=1;i<=d+1;i++)c[i]=lar::f[i];
	s=0;
	for(i=1;i<=d+1;i++){
		t=1;
		for(j=1;j<=n;j++)t=mul(t,H(i,p[j],a[j]));
		s=ad(s,mul(c[i],t));
	}
	printf("%d",ad(s,mod));
}