数据结构 - 图（Graph）- 目录

• 图（Graph）- 遍历

• 图（Graph）- AOV网（Activity On Vertex Nework）- 拓扑排序（Topological Sort）

• 图（Graph）- 生成树（Spanning Tree）

• 图（Graph）- 生成树（Spanning Tree）- Prim（普里姆算法）

• 图（Graph）- 生成树（Spanning Tree）- Kruskal（克鲁斯科尔算法）

• 图（Graph）- 最短路径（Shortest Path）

• 图（Graph）- 最短路径（Shortest Path）- Dijkstra（迪杰斯特拉算法）

• 图（Graph）- 最短路径（Shortest Path）- Bellman-Ford（贝尔曼-福特算法）

• 图（Graph）- 最短路径（Shortest Path）- Floyd（弗洛伊德算法）

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图（Graph）

• 图由顶点(vertex)和边(edge)组成，通常表示为G = (V, E)

1. G标识一个图，V是顶点集，E是边集
2. 顶点集V有穷且非空
3. 任意两个顶点之间都可以用边来表示它们之间的关系，边集E可以是为空的
   

图的应用举例

• 图结构的应用极其广泛

1. 社交网络
2. 地图
3. 游戏开发
4. …
   

有向图（Directed Graph）

• 有向图的边是有明确方向的
  
• 有向无环图（Directed Acyclic Graph，简称DAG）
• 如果一个有向图，从任意顶点出发无法经过若干条边回到该顶点，那么它就是一个有向无环图
  

出度、入度

出度、入度适用于有向图

• 出度（Out-degree）

1. 一个顶点的出度为x，是指有x条边以该顶点为起点
2. 顶点11的出度是3

• 入度（In-degree）

1. 一个顶点的入度为x，是指有x条边以该顶点为终点
2. 顶点11的入度是2
   

无向图（Undirected Graph）

• 无向图的边是无方向的
  
• 效果类似于下面的有向图
  

混合图（Mixed Graph）

• 混合图的边可能是无向的，也可能是有向的
  

简单图、多重图

• 平行边

1. 无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边
2. 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且它们的方向相同，则称这些边为平行边

• 多重图（Multi Graph）
  有平行边或者有自环的图
• 简单图（Simple Graph）
  既没有平行边也没有自环的图
• 博客中讨论的基本都是简单图
  

无向完全图（ Undirected Complete Graph）

• 无向完全图的任意两个顶点之间都存在边
• n个顶点的无向完全图有n (n - 1) / 2条边
• (n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + … + 3 + 2 + 1
  

有向完全图（ Directed Complete Graph）

• 有向完全图的任意两个顶点之间都存在方向相反的两条边
• n个顶点的有向完全图有n(n-1)条边
  
• 稠密图（Dense Graph）：边数接近于或等于完全图
• 疏密秃（Sparse Graph）：边数远远少于完全图

有权图（ Weighted Graph）

• 有权图的边可以拥有权值（Weight）
  

连通图（ Connected Graph）

• 如果顶点x和y之间存在可相互抵达的路径（直接或者间接的路径），则称x和y是连通的
• 如果无向图G中任意2个顶点都是连通的，则称G为连通图
  

连通分量（ Connected Component）

• 如果顶点x和y之间存在可相互抵达的路径（直接或者间接的路径），则称x和y是连通的
• 连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通的无向图有多个连通分量
• 下面的无向图有3个连通分量
  

强连通图（ Strongly Connected Graph）

• 如果有向图G中任意2个顶点都是连通的，则称G为强连通图
  

强连通分量（ Strongly Connected Component）

• 强连通分量：有向图的极大强连通子图
• 强连通图只有一个强连通分量，即其自身；非强连通的有向图有多个强连通分量
  

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图的实现方案

• 图由2种常见的实现方案

1. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）
2. 邻接表（Adjacency List）

邻接矩阵（Adjacency Matrix）

• 邻接矩阵的存储方式

1. 一位数组存放顶点信息
2. 二位数组存放边信息

• 邻接矩阵比较适合稠密图
• 不然会比较浪费内存
  

邻接矩阵 - 有权图

邻接表（Adjacency List）

邻接表- 有权图

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图的基础接口

int verticesSize();
int edgesSize();

void addVertex(V v);
void removeVertex(V v);

void addEdge(V fromV, V toV);
void addEdge(V fromV, V toV, E weight);
void removeEdge(V fromV, V toV);

顶点的定义

private static class Vertex<V, E> {
    V value;
    Set<Edge<V, E>> inEdges = new HashSet<>();
    Set<Edge<V, E>> outEdges = new HashSet<>();
    Vertex(V value) {
        this.value = value;
    }
    @override
    public boolean equals(Object obj) {
        return Objects.eqauls(value, ((Vertex<V, E> obj).value));
   }
   @override
   public int hashCode() {
       return value == null ? 0 : value.hashCode();
   }
}

边的定义

private static class Edge<V, E> {
    Vertex<V, E> from;
    Vertex<V, E> to;
    E weight;
    public boolean equals(Object obj) {
        Edge<V, E> edge = (Edge<V, E>) obj;
        return from.equals(edge.from) && to.equal(edge.to);
    }
    public int hashCode() {
        return form.hashCode() * 31 + to.hashCode();
   }
}