快速幂及其取余

快速幂

快速幂的作用：快速计算底数的n次幂。
时间复杂度为：O(log₂N)　（朴素方法为O(N)

原理

以下以求a的b次方来介绍
把b转换成二进制数
该二进制数第i位的权为$2^{i-1}$
例：
　　$a^{11} = a^{2^0+2^1+2^3}$
11的二进制是1011
$11 = 2^3×1 + 2^2×0 + 2^1×1 + 2^0×1$
因此，我们将$a^{11}$转化为算$a^{2^0}×a^{2^1}×a^{2^3}$

代码

递归版

int powf(int a, int b){
    if(b == 1)
        return a;
    int t = powf(a, b/2);
    return (b%2 == 0 ? 1 : a)*t*t;
}

循环版

int pow0(int a, int b){
    int r = 1, base = a;
    while(b != 0){
        if(b%2)
            r *= base;
        base *= base;
        b /= 2;
    }
    return r;
}

//常规求幂
int pow1(int a, int b){
    int r = 1;
    while(b--)
        r *= a;
    return r;
}

//快速求幂（位运算）
int pow2(int a, int b){
    if(b == 0)
        return 1;
    else {
        while((b&1) == 0){
            b >>= 1;
            a *= a;
        }
    }
    int r = a;
    b >>= 1;
    while(b != 0){
        a *= a;
        if(b & 1)
            r *= a;
        b >>= 1;
    }
    return r;
}

//快速求幂（位运算，简洁版）
int pow3(int a, int b){
    int r = 1, base = a;
    while(b){
        if(b & 1)
            r *= base;
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return r;
}

测试

#include <stdio.h>
//a^b
int powf(int a, int b){
    if(b == 1)
        return a;
    int t = powf(a, b/2);
    return (b%2 == 0 ? 1 : a)*t*t;
}
int pow0(int a, int b){
    int r = 1, base = a;
    while(b != 0){
        if(b%2)
        r *= base;
        base *= base;
        b /= 2;
    }
    return r;
}
//常规求幂
int pow1(int a, int b){
    int r = 1;
    while(b--)
        r *= a;
    return r;
}
//快速求幂（位运算）
int pow2(int a, int b){
    if(b == 0)
        return 1;
    else {
        while((b&1) == 0){
            b >>= 1;
            a *= a;
        }
    }
    int r = a;
    b >>= 1;
    while(b != 0){
        a *= a;
        if(b & 1)
            r *= a;
        b >>= 1;
    }
    return r;
}
//快速求幂（位运算，简洁版）
int pow3(int a, int b){
    int r = 1, base = a;
    while(b){
        if(b & 1)
            r *= base;
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return r;
}

int main(void)
{
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    printf("递归版：\n");
    printf("%d^%d = %d\n\n", a, b, powf(a, b));
    printf("循环版：\n");
    printf("%d^%d = %d\n\n", a, b, pow0(a, b));
    printf("常规求幂：\n");
    printf("%d^%d = %d\n\n", a, b, pow1(a, b));
    printf("位运算1：\n");
    printf("%d^%d = %d\n\n", a, b, pow2(a, b));
    printf("位运算2：\n");
    printf("%d^%d = %d\n\n", a, b, pow3(a, b));
    return 0;
}

快速幂取余

首先要证明一个公式：a*b%m = $[($a%m$)*($b%m$)]$%m
$a = a_1*m+a_2$
$b = b_1*m+b_2$
a*b%m = $a_2*b_2$%m = $[($a%m$)*($b%m$)]$%m
进而
$a^b$%m = $[($a%m$)^b]$%m = $[($a%m$)*($a%m$)^{b-1}]$%m = { $($a%m$)*[($a%m$)^{b-1}$%m$]$ }%m

代码

#include <stdio.h>
long long powMod(long long a, long long b, long long mod)
{
    long long ans = 1;
    a %= mod;
    while(b){
        if(b&1)
            ans = ans*a%mod;
        a = a*a%mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(void)
{
    int a, b, mod;
    scanf("%d%d%d", &a, &b, &mod);
    printf("%d^%d%%%d = %lld\n\n", a, b, mod, powMod(a, b, mod));
    return 0;
}