变换转化关系

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数实际上是用三角函数集对周期信号¹进行描述,所以傅里叶级数并不是真正意义上从时域到频域的变换,而是将周期信号拆解为单频分量的叠加,每个分量的振幅,也就是傅里叶级数,表示该分量的振幅.

傅里叶变换的引入是为了解决非周期信号的频率分析.对于非周期信号,我们可以认为其周期为 $\infty$,在这样一个无穷大的周期内对信号进行分解.
$F_n=\lim_{T\to \infty} \frac 1T \int_{-\frac T2}^\frac 2T f(t)e^{-jn\Omega t} dt \tag {1.1}$
可以看到,当 $T\to\infty$时, $F_n \to 0$且 $\Omega=\frac{2\pi}{T} \to 0$此时的频率从离散 $n\Omega$变为连续 $\omega$.这也符合认知:非周期信号是由无穷多个频率分量构成,每一个分量的幅度都无穷小.

虽然 $F_n \to 0$,但是 $F_n T =\frac{2\pi F_n}{\omega}$是未定式,可能趋近有限值,所以记 $F_n T =F(j\omega)$
$F(j\omega)=\lim_{T \to \infty}\frac{2\pi F_n}{\omega}=\lim_{T \to \infty} \int_{-\frac T2}^\frac 2T f(t)e^{-j\omega t} dt \tag{1.2}$
在上面说过,非周期信号由无穷多个无穷小的频率分量构成,所以我们无法具体到一确定频率分量去研究其幅度(1.1),因为都是无穷小².所以在这里借用密度的概念

比如现有一段木条,我们可以认为这段木条是由无限个质量无穷小的点构成,为了描述这些点的信息,我们定义了质量密度 $\rho=\frac ml$

类似的,现有一个非周期信号,我们同样有充足的理由认为这一信号是由无限个幅度无穷小的频率分量构成,为了描述这些分量的振幅关系,我们定义了频率密度.

用振幅与频率的比值作为频率密度(1.2),来说明非周期信号的各个分量.

说了这么多,不知你有没有发现,周期信号与非周期信号的分析是割裂的.周期信号采用傅里叶级数,非周期信号采用傅里叶变换;而傅里叶级数显然不能分析非周期信号,所以完成时域-频域变换的大一统方法还得指望傅里叶变换.

虽然看起来傅里叶变换是完全可以对周期信号进行分析的,周期信号只有主频和倍频分量,比无穷多分量的非周期信号简单的多.的确,但是周期信号只有在特定的频率上才有振幅,而这一概念转换到密度的概念上就变成了:在无限小的频率区间内存在一个振幅,因此此处的频率密度必然是无穷大的.

为了能描述这一现象,引入冲激函数,这样我们就可以把离散的振幅用密度形式表示出来.
$F_n = \frac 1T F_0(j\omega)|_{\omega=n\Omega}$

这里详细说明一下如何对周期信号进行傅里叶变换:

首先将周期信号 $f_T(t)$截取任意一周期转换为非周期信号 $f_0(t)$,其对应的傅里叶变换为 $F_0(j\omega)$.

我们可以将周期信号 $f(t)$视为非周期信号 $f_0(t)$与冲击串 $\delta_T(t)=\sum (t-mT)$的乘积.

时域相乘,频域卷积.所以
$F(j\omega)= \Omega\sum_{m=-\infty}^\infty F_0(j\omega)\delta(\omega-n\Omega)$

傅里叶变换与s变换

拉普拉斯变换(s变换)是傅里叶变换得推广,傅里叶变换是拉普拉斯变换的特例.

在使用傅里叶变换时,虽然很少考虑函数的绝对可积性,但是作为傅里叶变换成立的前提,这是必不可少的,这就造成了其存在局限性,当我们必须要对不满足绝对可积的函数( $e^{|\alpha| t}$)做频域分析时又该怎么办呢?这时s变换出现了.

s变换是在傅里叶变换的基础上外加一个强迫衰减因子 $e^{-\sigma t}$,迫使本身不满足绝对可积条件的函数满足这一条件.
$F(\sigma+j\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-(\sigma+j\omega )t} dt$
令 $s=\sigma+j\omega$,就得到了所熟知的s变换
$F(s)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-st} dt$
当 $\sigma=0$时,就是傅里叶变换,也就是说在s域虚轴上的值对应傅里叶变换.

在之前我们说过,s依靠 $e^{-\sigma t}$使得积分收敛,对于任意信号 $e^{\alpha t}(\alpha>0)$来说,不是任意 $\sigma$都可以使得积分收敛,显然积分是否收敛依赖于 $\sigma$的选取,这就引入了收敛域的概念.

在上述问题中,不难得出指数信号 $f(t)=e^{\alpha t}(\alpha>0)$其s变换的收敛域为 $\sigma>\alpha$

需要说明的是,这里的收敛是指在衰减因子的影响下收敛,而不是原信号收敛.所以才有s域与时域对应产生的响应稳定性问题.

如果用线性空间的角度分析的话,s变换是将信号分解为复单频信号 $e^{j\omega t}$,而傅里叶变换则是分解为正弦信号,也可以得出二者的包含关系.

从s变换到z变换

在信号系统中我们知道，s域是连续域，而z域是离散域.虽然二者看起来相互独立,但确实存在沟通二者的桥梁.

现有一连续信号 $f(t)$,根据抽样定理,我们可以在时域上将其离散化得到 $f_s(t)$.
$f_s(t)=f(t)\delta_T(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty f(kT)\delta(t-kT)$
对上式取s变换,则有
$F_s(s)=\sum_{k=-\infty}^\infty F(kT)e^{-kTs}$
令 $z=e^{Ts}$,就得到了我们所熟知的正z变换
$F(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty F(kT)z^{-k}$
综上可知,s变换与z变换的转化式为
$F(z)|_{z=e^{sT}}=F_s(s)$
在这里重点说明一下 $z=e^{sT}$这一转化关系.因为 $s=\sigma+\Omega j$,所以
$z=e^{(\sigma+\Omega j)T}=|\rho|e^{j\theta}$
这表明了z域与s域的映射关系

• $\sigma<0$时,s在s平面的左半部分,对应的 $\rho<1$,所以z在单位圆内
• $\sigma=0$时,s在虚轴上,对应 $\rho=1$,z在单位圆上
• $\sigma>0$时,s在s平面的右半部分,对应 $\rho>1$,所以z在单位圆外

在这一映射关系下,我们也能轻易理解为什么只有极点都在单位圆内的系统才是稳定系统.

首先,单位圆内的点在s域位于左半部分,我们不妨假设有一对共轭极点 $a\pm bj$,构成系统函数
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ H(s)& =\frac{1…
对应的冲激响应 $h(t)=\frac 1b e^{at}\sin bt$.应注意到由于在左半平面, $a<0$故冲激响应在趋于无穷时趋近于0,所以该系统是稳定的.

如果极点在右半平面,显然是一个不稳定系统.

将这样一个稳定系统映射到z域,其稳定性仍然不变.综上,有极点都在单位圆内的系统才是稳定系统.

在这里需要特殊说明的是极点在单位圆上,也就是位于s域的虚轴上时,稳定性不确定.如果极点为0或一阶极点,那么系统稳定;如果为重极点,那么系统不稳定.

从ZT到DTFT

DTFT的定义如下
$DTFT[f(nT_s)]=\sum_{k=-\infty}^\infty f(nT_s)e^{-j\omega k}$
对于序列的ZT定义如下
$ZT[f(nT_s)]=\sum_{k=-\infty}^\infty f(nT_s)z^{-k}$
仅从定义式中不难看出,DTFT实际上就是一种特殊条件下的ZT,当且仅当 $z=0+j\omega$时,两式相同.
$z^{-k}=[e^{j\omega }]^{-k}=e^{-j\omega k}$

从另外一个角度来看,也不难得出这一结论:

在前文中我们指出,FT实际上是特殊的ST:ST虚轴上的映射就是FT.

对原连续信号f(t)抽样后,这一结论仍然适用.根据ST与ZT的关系:ZT又将把虚轴采样序列映射到单位圆上.

综上,DTFT就是在单位圆上进行的ZT

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1. 信号应满足迪利克立条件 ↩︎

2. 无限接近于0但不等于0,甚至还比0大 ↩︎