自然常数e与重要极限

无理数 $e$，又称自然常数，是一个人为定义的数，约等于2.71828，我们在很多地方都能看到它的身影，如欧拉方程、自然对数中等等。

定义

$e$的定义式为： $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$该式是两个重要极限中的其中一个，要理解该定义式的由来，就不得不先介绍一下指数增长模型

指数增长模型

指数增长模型可以用单细胞生物的二分裂来做形象的解释：已知细胞在1个增长周期内分裂一次，则分裂后的细胞总数为分裂前的两倍： $N_{分裂后}=2*N_{分裂前}$若在初始细胞数量为1的情况下，经过 $x$个分裂周期，则细胞总数(设为 $Q$)将会达到 $2_1*2_2*...*2_x=2^x$个，表达为： $Q=2^x$已知细胞初始数量为1，且每个周期的增长率为 $100\%$，因此上式亦可写做： $Q=(1+100\%)^x$这便是单细胞生物二分裂的指数增长模型

当该式应用在描述更广泛的事物的增长规律时，其增长率通常不会是 $100\%$，因此我们用一个未知数 $r$来代替增长率，这样就得到了更一般的指数增长模型： $Q=(1+r)^x$其含义是：某个事物在一个周期内的增长率为 $r$，在增长 $x$个周期之后，其总数量是原始数量的 $Q$倍

定义式的由来

为了更加生动的解释为什么定义式 $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x$等于 $e$，这里引入经济学中的复利率概念：

• 复利率：是指利息除了会根据本金计算得到外，新得到的利息同样可以生息的一种利息计算方式。

假设有一银行采用复利率的方式来计算利息，你希望在该银行存1元钱本金1年，银行的年利率(增长率)为100%。这样假设的目的是为了得到更一般的公式，其他情况皆可由一般公式变换得到其特殊公式。

若你没有注意到该银行采用复利率来计算利息，则你很可能会直接存够一年，这样的话一年后你将会得到 $Q=(1+r)^x=(1+100\%)^1=2元$的本金加利息

可是你足够仔细，注意到了银行的利息计算方式为复利率，于是你便想尽可能多的在这一年中取出本息再全部存入，以获得更多的回报，于是你计算了一下

1. 假设每半年便取出一次，则由于存款时间只有原来的 $\frac{1}{2}$，因此利率只能看做年利率的 $\frac{1}{2}$。
   1年后这种方法得到的本息为： $Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{2})^2=2.2500元$
2. 假设每三个月便取出一次，则由于存款时间只有原来的 $\frac{1}{4}$，因此利率只能看做年利率的 $\frac{1}{4}$。
   1年后这种方法得到的本息为： $Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{4})^4=2.4414元$
3. 假设每个月便取出一次，则由于存款时间只有原来的 $\frac{1}{12}$，因此利率只能看做年利率的 $\frac{1}{12}$。
   1年后这种方法得到的本息为： $Q=(1+r)^x=(1+\frac{100\%}{12})^{12}=2.6130元$

根据这个思路进行了大量的迭代运算后得到下图：
可以看到随着交付次数的增加，1年后得到的本息总额也在增加。然而，这种增加是收敛的，它有一个不可逾越的顶点： $2.71828182845...$，这就是增长的极限，命名为 $e$。

计算复利率的过程进行到这里， $e$的定义式已经呼之欲出，就是重要极限之一的： $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$