关系数据库之关系代数

关系数据库的关系代数运算符有8种，分为两大类，如下表所示：

分类	运算符	含义
传统关系运算符	$∪$	并
	$−$	差
	$∩$	交
	$×$	笛卡尔积
专用关系运算符	σ	选择
	∏	投影
	⋈	连接
	÷	除

1 传统的关系运算

传统的集合运算是二元运算，包括并、差、交、笛卡尔积4种运算。设有两关系R、S。

1.1 并 union

关系R与关系S的并记作： $R\cup S=\{t\ |\ t\in R \lor t\in S\}$即合并R和S所有元组

1.2 交 intersection

关系R与关系S的交记作： $R\cap S=\{t\ |\ t\in R \land t\in S\}$关系的交也可用差来表示： $R\cap S=R-(R-S)$即取出R与S中共有的元组

1.3 差 except

关系R与关系S的差记作： $R- S=\{t\ |\ t\in R \land t\notin S\}$即去掉R中属于S的元素

1.4 笛卡尔积 cartesian product

关系R与关系S的并记作： $R\times S=\{\overset{\large\frown}{t_Rt_S}\ |\ t_R\in R \land t_S\in S\}$这里的笛卡尔积指的是广义笛卡尔积，对元组进行笛卡尔积有点类似于小学数学课上学过的握手游戏。

对于 $R\times S$来说，表示每个R中的元组都要与S中的元组连接一次

1.5 传统关系运算举例

设 $R$:

color	pattern	size
红	A	5
红	B	10
蓝	B	5

$S$:

color	pattern	size
红	B	10
红	C	10
蓝	B	5

则有：

• $R$与 $S$的并 $R\cup S$:

color	pattern	size
红	A	5
红	B	10
蓝	B	5
红	C	10

• $R$与 $S$的交 $R\cap S$:

color	pattern	size
红	B	10
蓝	B	5

• $R$与 $S$的差 $R- S$:

color	pattern	size
红	A	5

• $R$与 $S$的笛卡尔积 $R\times S$：

R.color	R.pattern	R.size	S.color	S.pattern	S.size
红	A	5	红	B	10
红	A	5	红	C	10
红	A	5	蓝	B	5
红	B	10	红	B	10
红	B	10	红	C	10
红	B	10	蓝	B	5
蓝	B	5	红	B	10
蓝	B	5	红	C	10
蓝	B	5	蓝	B	5

2 专用的关系运算

专用的关系运算符包括选择、投影、连接、除运算

在具体介绍运算符之前为了方便表达，先引入几个符号：

• $R$：关系。 $R=\{r_1,r_2,...,r_n\}$，其中 $r_i$表示 $R$中的列。类似的， $S$等符号也代表一个关系
• $t$：元组。 $t$代表 $R$的某一行，称 $t$为元组。
• $t[r_i]$：分量。 $t[r_i]$表示 $t$行中 $r_i$列的值，称 $t[r_i]$为分量。
• $Z_{t[r_i]}$：象集。 $Z_{t[r_i]}$表示 $t$行中除 $r_i$列外其他列的值，称 $Z_{t[r_i]}$为象集。
• $\theta$：比较运算符。比较运算符有6种，分别是 $=$、 $>$、 $\geq$、 $<$、 $\leq$、 $<>$

2.1 选择 selection

选择关系运算记作： $\sigma_{r_i\theta t[r_i]}(R)=\{\ t\ |\ t\in R\land r_i\theta t[r_i]=true\}$即取出 $R$表中 $r_i$列的值与 $t[r_i]$具有 $\theta$关系的行
例如：
$\sigma_{Sage<20}(Student)$表示取出 $Student$表中 $Sage$列值小于数值20的行
$\sigma_{Sname='李勇'}(Student)$表示取出 $Student$表中 $Sname$列值等于字符串李勇的行

2.2 投影 projection

投影关系运算记作： $\prod\ _{r_i}(R)=\{t[r_i]\ |\ t\in R\}$即取出 $R$表中的 $r_i$列
例如：
$\prod\ _{Sage}(Student)$表示从表 $Student$取出 $Sage$列形成新的关系
$\prod\ _{Sage,Sname}(Student)$表示从表 $Student$取出 $Sage$和 $Sname$列形成新的关系

2.3 连接 join

连接关系运算记作： $\overset{R\Join S}{_{r_{i}\theta r_{j}}}=\{\overset{\large\frown}{t_Rt_S\ |t_R\in R \land t_S\in R\land t_R[r_i]\theta t_S[r_j]\ }\}$即选取 $R$与 $S$的笛卡尔积中 $t_R[r_i]$与 $t_S[r_j]$满足关系 $\theta$的行

连接有四种特殊形式：

• 非等值连接。就是指 $\theta$不为等号的连接，例如 $\overset{R\Join S}{_{r_{i}< r_{j}}}$表示连接满足 $R.r_i<S.r_j$关系的 $R$与 $S$中的元组
• 等值连接。就是指 $\theta$为等号的连接，例如 $\overset{R\Join S}{_{r_{i}=r_{j}}}$表示连接满足 $R.r_i=S.r_j$关系的 $R$与 $S$中的元组
• 自然连接。自然连接是一种特殊的等值连接，就是 $r_i$与 $r_j$的属性名一致且值相等的等值连接，并在连接结果中去掉重复列，而在一般的等值连接中只需要满足 $r_i$与 $r_j$的值相等即可，记作 $R\Join S$。
• 外连接。外连接是一种特殊的自然连接，在自然连接的过程中，若连接后元组里的某个属性出现Null值就会舍去该元组，而外连接则会保留该元组。外连接分为三种：
• 1、外连接。保留两边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作 $R:\Join: S$
• 2、左外连接。保留左边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作 $R:\Join S$
• 3、右外连接。保留右边关系自然连接后出现Null值属性的元组，记作 $R\Join: S$

2.4 除 division

除关系运算记作： $R\div S=\{\ t_R[r_i]\ |\ t_R\in R\land\prod\ _{r_j}(S)\subseteq r_{j\ t_R[r_i]}\ \}$即取出 $R$中使 $R.r_j$完全等于 $S.r_j$的 $R.r_i$元组
例如：
$\prod\ _{Sname,Sage}(R)\div \prod\ _{Sage}S$表示取 $R$投影中使 $R.Sage$完全等于 $S.age$的 $R.name$元组，形成新的关系

2.5 专用关系运算举例

设 $R$:

color	pattern	size
红	A	5
红	B	6
蓝	C	8
蓝	D	12

$S$:

pattern	weight
A	3
B	7
C	10
C	2
E	2

• $R$的选择， $\sigma_{color='红'}(R)$，取出 $R$表中 $color$列值为字符串’红’的行形成新的关系：

color	pattern	size
红	A	5
红	B	6

• $R$的投影， $\prod\ _{color,size}(R)$，从表 $R$取出 $color,size$列形成新的关系:

color	size
红	5
红	6
蓝	8
蓝	12

• $R$与 $S$的连接

非等值连接， $\overset{R\Join S}{_{size< weight}}$，连接满足 $size< weight$关系的 $R$与 $S$中的元组

color	R.pattern	size	S.pattern	weight
红	A	5	B	7
红	A	5	C	10
红	B	6	B	7
红	B	6	C	10
蓝	C	8	C	10

等值连接， $\overset{R\Join S}{_{R.pattern= S.pattern}}$，连接满足 $R.pattern= S.pattern$关系的 $R$与 $S$中的元组

color	R.pattern	size	S.pattern	weight
红	A	5	A	3
红	B	6	B	7
蓝	C	8	C	10
蓝	C	8	C	2

自然连接， $R\Join S$，连接 $R$与 $S$中同名属性值相等的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2

外连接， $R:\Join: S$，保留两边关系自然连接后出现Null值属性的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2
蓝	D	12	null
null	E	null	2

左外连接， $R:\Join S$，保留左边关系自然连接后出现Null值属性的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2
蓝	D	12	null

右外连接， $R\Join: S$，保留右边关系自然连接后出现Null值属性的元组：

color	pattern	size	weight
红	A	5	3
红	B	6	7
蓝	C	8	10
蓝	C	8	2
null	E	null	2

• $R$的除运算
  设有除关系 $K$

color	size
红	5
红	6

则 $R\div K$表示取出 $R$中使 $R.color$完全等于 $S.color$、 $R.size$完全等于 $S.size$的 $R.partten$元组

partten
A