1.题目
题目描述
在一个二维数组中（每个一维数组的长度相同），每一行都按照从左到右递增的顺序排序，每一列都按照从上到下递增的顺序排序。请完成一个函数，输入这样的一个二维数组和一个整数，判断数组中是否含有该整数。
2.我的题解
遍历搜索是可以得到正确答案的，复杂度为O(length*width)，但显然不是最优解。
关键在于如何利用每一行从左到右递增、每一列从上到下递增的条件。第一眼看（从左上角），右、下两个方向都是增大的，这样就无法进行下一步选择。但如果从右上角看，可以发现一个方向是增大的，一个方向是减小的，这样的情况下选择是确定的，仅有一种选择，复杂度为O(length+width)。
举个例子，会清晰明了。
（1）以1到8为例。如果从左上角开始，第一步就会面临难题，右和下我该去哪个方向？第一步无论是向右还是向下，都可以得到一条1到8的最优路径。也就是说，在当前值、右方向的值、下方向的值之间也没有足够的关系让我确定该去哪个方向，两个方向都行也就意味着不确定性，这种方法不可行。
（2）以4到9为例。如果从右上角开始，会发现左方向的值小于当前值，下方向的值大于当前值，对比目标值与当前值的关系，当前值大了就向左，当前值小了就向下，这样可以得到一条唯一确定且最优的路径。当然这条路径是最优的，但不是唯一的，它只是在当前方法下唯一的，其他方法仍可以得到另外的最优路径。
（3）为什么不用走回头路？乍一看该方法好像有些道理，但怎么保证不用走回头路就可以到达目的地呢？
这是由于数组从左到右递增、从上到下递增的性质保证的。
可以使用反证法，假设本方法得到的结果存在一条走回头路的路径ABCD，作辅助点F，如下所示,：
那么由本方法的性质，在辅助点F点可以得到：F>D，所以在F点才回向左走，不向下走；
由本题的条件数据从左向右递增、从上向下递增，可以得到F>D，F与D的关系出现了矛盾。
因此本方法不会得到这样的有回头路的路径。
3.别人的题解
3.1 十字分割法
将原矩形按中心点分为四个矩形，左上、右下是互斥的，因此可以减少1/4的数据量，在其它三个矩形中递归搜索，直到矩形仅有一个元素。
可以应用剪枝策略减少递归次数。复杂度为O(logn)
class Solution {
public:
bool Find(int target, vector<vector<int> > array) {
if(array.size()==0 || array[0].size()==0)return false;
return ten_seg(array,target,0,array.size()-1,0,array[0].size()-1);
}
bool ten_seg(vector<vector<int> > &data,int target,int top,int bottom,int left,int right){
//递归结束
if(top==bottom && left == right){
if(data[top][left] == target)return true;
return false;
}
//剪枝
if(target>data[bottom][right] || target< data[top][left])return false;
//分割
int i=(top+bottom)/2,j=(left+right)/2;
if(target==data[i][j])return true;
//右下
if((i<bottom && j< right)&&target>data[i][j] && ten_seg(data,target,i+1,bottom,j+1,right))return true;
//左上
else if((top<i || left<j) &&target<data[i][j] && ten_seg(data,target,top,i,left,j)) return true;
//左下
if(i<bottom && ten_seg(data,target,i+1,bottom,left,j))return true;
//右上
if(j<right && ten_seg(data,target,top,i,j+1,right))return true;
return false;
}
};
以上面的数据为例，查找10，递归顺序及输出如下：
# top bottom left right
0,3,0,3
2,3,2,3
2,3,0,1
3,3,1,1
3,3,0,0
2,2,1,1
1
4.总结与反思
（1）找到“确定的操作”，即下一步由某些条件满足然后确定做什么操作，如果下一步存在多个不确定的操作，计算机无法解决问题。
（2）在十字分割法中，尤其要主要边界的处理，要做到不重不漏；在本题中，将中间点分给左上部分，则查找右下部分时行列数要加1，右上部分列数加1，左下部分行数加1。
