性质
贪心选择性质
整体最优可通过一系列的局部最优选择，即贪心选择来达到。也就是说贪心选择是当前状态下做出的最好选择。
如何证明贪心选择是当前状态下做出的最好选择。如果可以证明存在整体的最优解包含第一步的贪心选择，那么贪心选择是当前状态下做出的最好选择。通常采用反证法证明。
使用贪心算法前一般需要“排序”数据，选择如何对数据进行排序是求解问题的关键之一。
最优子结构
一个问题的最优解包含其子结构的最优解，则称此问题具有最优子结构性质。
子问题有两种理解方式。
- 经过贪心选择过后剩下的子问题
- 经过k-1步贪心选择过后，载经第k步，得到的解，依然是子问题的最优解。
典例
时间安排问题
- 问题：有n个活动，知道每个活动开始时间bi, 结束时间ei， 求一种最优活动安排方案，使得所有安排的活动个数最多。
问题求解：
- 排序，按结束时间ei递增排序，得到S[1…n]
- 局部：用flag[1…i] 记录从1到 i 的任务是否得到安排，用preend记录上一个被安排任务的结束时间
- 贪心选择策略：S[i].start >= preend, 则安排第i个任务，否则不安排。
证明：
- 首先证明总存在一个以活动1开始的最优解。
如果第一个选中的活动为k（k≠1），可以构造另一个最优解Y，Y中的活动是兼容的，Y与X的活动数相同。
那么用活动1取代活动k得到Y’，因为e1≤ek，所以Y’中的活动是兼容的，即Y’也是最优的，这就说明总存在一个以活动1开始的最优解。 - 当做出了对活动1的贪心选择后，原问题就变成了在活动2、…、n中找与活动1兼容的那些活动的子问题。亦即，如果X为原问题的一个最优解，则X’=X-{1}也是活动选择问题A’={i∈A | bi≥e1}的一个最优解。
反证法：如果能找到一个A’的含有比X’更多活动的解Y’，则将活动1加入Y’后就得到A的一个包含比X更多活动的解Y，这就与X是最优解的假设相矛盾。
因此，在每一次贪心选择后，留下的是一个与原问题具有相同形式的最优化问题，即最优子结构性质。
多机调度问题
- 问题：有n个独立的作业和m个相同的机器，
问题求解：
- 排序，按作业时间递减排序, 得到S[1…n]
- 局部：f(i)表示对S[1…i]这i个作业进行多机调度
- 贪心选择策略：长作业优先
Kruskal 算法求最小生成树
证明：
（1）k=1时，首先T中没有任何边，设e1是G中权最小的边，加入e1不会产生任何回路。显然是正确的。
（2）假设算法进行了k-1步产生k-1条边，即e1，e2，…，ek-1，对应的边集合为TE1，产生的T1=(V1，TE1)是最小生成树T的子树（V1为TE1中的顶点集）。
（3）算法第k步选择了边e=(v，u)，设TE2= TE1∪{e}，TE2中的边把G中顶点分成两个或者两个以上的连通分量。
设S1是添加边e后包含顶点v的连通分量的顶点集，S2是添加边e后包含顶点u的连通分量的顶点集。
显然e是离开S的最短边之一（因为之前所有较短边都已经考察过，它们或者添加到T中，或者因为在同一个连通分量中而被丢弃）。
现要证明T2=(V2，TE2)也是最小生成树的子树（V2为TE2中的顶点集）。
若最终的最小生成树T包含e=(v，u)，那么就不需要再进一步证明了。否则在T中S1和S2之间一定存在一条边e’=(x，y)（在后面添加的），现在再在S1和S2之间添加边e得必构成一个回路，如下图所示：
显然e’的权值大于或等于e的权值即cost(e’)≥cost(e)，否则边e’应该在前面添加，这样由S1和S2加上e1构成的生成树的权值和大于等于T2的权值和，说明T不是最小生成树，与T是最小生成树的假设矛盾，从而证明T2是最小生成树的子树。
