传送门
看到这篇题解请先大吼三声：杜教NB！杜教NB！杜教NB！
其实话说回来，吉老师改不改数据范围其实都差不多。。。
反正中间的部分分估计也没有人写
如果吉老师不改数据范围的话，估计现在网上也就能找到单
的三维凸包做法了。我仍然不会单log三维凸包
题解：
对于一个大小为 的点集，任何一个三角剖分，其外围点数量和三角形数量之和为 。证明考虑将其映射为三维图形，然后用拓扑学欧拉定理证明就行了。
或者直接考虑利用平面图欧拉定理（虽然本质上是一个东西），我们有
设凸包上点数为 ，显然三角形的数量就是面数扣掉那个无限大区域，即 ，点数为 ，凸包上每条边算了两次，三角形上每条边算了三次，则
化简就是 。
对于凸包而言，显然要求作出的三角剖分是凸的就行了。
所以我们可以考虑计算在三角剖分外围是凸的情况下，内部有多少个三角形。
容易注意到题目给的条件是反演的形式，这启示我们采用反演相关的知识来解决。
与反演关系最紧密的是圆，与圆关系最紧密的三角剖分就是D剖。
定义内圆为经过点集中至少三个点且内部没有其他点的圆，外圆为经过点集中至少三个点且外部没有其他点的圆。
容易发现内圆可以直接用最近点V图求，也就是直接上D剖。而外圆过的三个点对应的在最远点V图中相邻的三个点。这个目前不清楚有没有快速的直接求法
考虑反演前后的图形关系，显然可以得到：
- 对于内圆，若反演中心在其内部，其反形为外圆，否则其仍然为内圆。
- 对于外圆，若反演中心在其内部，其反形为内圆，否则其仍然为外圆。
反演中心在边界上的概率为 ，不考虑。
所以我们求出所有的内圆外圆，然后与原矩形求交即可。
由于外圆没法求，似乎陷入了僵局。
看一下圆的方程：
拆开是这样的形式： 。
三维坐标系中的平面方程为 。
考虑将二维平面的点 映射到三维 ，这样每三个点所在的平面可以表示一个圆。接下来要考虑如何表示圆和点的关系。显然，若点在该平面下方，该点在圆内，否则在圆外。
所以直接求三维凸包，面向 轴负方向的表示内圆，面向正方向的表示外圆。
为了避免与 轴平行的情况出现，加一点随机扰动即可。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db long double
#define re register
#define cs const
namespace IO{
inline char gc(){
static cs int Rlen=1<<22|1;static char buf[Rlen],*p1,*p2;
return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}template<typename T>T get_integer(){
char c;T num;while(!isdigit(c=gc()));num=c^48;
while(isdigit(c=gc()))num=((num+(num<<2))<<1)+(c^48);return num;
}inline int gi(){return get_integer<int>();}
}using namespace IO;
using std::cerr;
using std::cout;
std::mt19937 R(time(0));
std::uniform_int_distribution<int> rnd(0,(int)1e9);
cs db eps=5e-8;
inline db rndb(){return rnd(R)/1e10;}
inline db reps(){return (rndb()-.5)*eps;}
inline int sign(db x){return x<-eps?-1:(x>eps?1:0);}
struct Pnt{
db x,y;Pnt(){}Pnt(db _x,db _y):x(_x),y(_y){}
friend Pnt operator+(cs Pnt &a,cs Pnt &b){return Pnt(a.x+b.x,a.y+b.y);}
friend Pnt operator-(cs Pnt &a,cs Pnt &b){return Pnt(a.x-b.x,a.y-b.y);}
friend db operator*(cs Pnt &a,cs Pnt &b){return a.x*b.y-b.x*a.y;}
friend db dot(cs Pnt &a,cs Pnt &b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}
friend Pnt operator*(cs Pnt &a,db b){return Pnt(a.x*b,a.y*b);}
db len()cs{return sqrtl(x*x+y*y);}db ang()cs{return atan2l(y,x);}
};
struct pt{
db x,y,z;pt(){}pt(db _x,db _y,db _z):x(_x),y(_y),z(_z){}
friend pt operator+(cs pt &a,cs pt &b){return pt(a.x+b.x,a.y+b.y,a.z+b.z);}
friend pt operator-(cs pt &a,cs pt &b){return pt(a.x-b.x,a.y-b.y,a.z-b.z);}
friend pt operator*(cs pt &a,cs pt &b){return pt(a.y*b.z-a.z*b.y,a.z*b.x-a.x*b.z,a.x*b.y-a.y*b.x);}
friend db dot(cs pt &a,cs pt &b){return a.x*b.x+a.y*b.y+a.z*b.z;}
friend bool operator==(cs pt &a,cs pt &b){return !sign(a.x-b.x)&&!sign(a.y-b.y)&&!sign(a.z-b.z);}
friend bool operator!=(cs pt &a,cs pt &b){return sign(a.x-b.x)||sign(a.y-b.y)||sign(a.z-b.z);}
db len()cs{return sqrtl(x*x+y*y+z*z);}
};
inline db crs(cs Pnt &a,cs Pnt &b,cs Pnt &c){
return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
}
inline pt crs(cs pt &a,cs pt &b,cs pt &c){
return (b-a)*(c-a);
}
inline pt trans(cs Pnt &a){
return pt(a.x,a.y,a.x*a.x+a.y*a.y);
}
inline Pnt trans(cs pt &a){
return Pnt(a.x,a.y);
}
inline db area(cs pt &a,cs pt &b,cs pt &c){
return crs(a,b,c).len();
}
inline db vol(cs pt &a,cs pt &b,cs pt &c,cs pt &d){
return dot(crs(a,b,c),d-a);
}
cs int N=2e3+7;
int n,ct,id[N][N];
bool ok[N<<2|1];
pt p[N];Pnt q[N];
db xa,xb,ya,yb,S;
Pnt poly[5],tmp[10];
struct Face{
int a,b,c;Face(){}Face(int _a,int _b,int _c):a(_a),b(_b),c(_c){}
pt normal()cs{return crs(p[a],p[b],p[c]);}
db area()cs{return normal().len();}
db vol(cs pt &d)cs{return dot(normal(),d-p[a]);}
}f[N<<2|1];
void dfs(int,int);
void deal(int,int,int);
void deal(int x,int a,int b){
if(ok[id[a][b]]){
if(f[id[a][b]].vol(p[x])>0)dfs(x,id[a][b]);
else {
id[b][a]=id[a][x]=id[x][b]=++ct;
f[ct]=Face(b,a,x);ok[ct]=true;
}
}
}
void dfs(int p,int x){
ok[x]=false;
deal(p,f[x].b,f[x].a);
deal(p,f[x].a,f[x].c);
deal(p,f[x].c,f[x].b);
}
void deal(int p,int x){
ok[x]=false;
deal(p,f[x].b,f[x].a);
deal(p,f[x].a,f[x].c);
deal(p,f[x].c,f[x].b);
}
void Convex_3D(){
ct=0;int flag=true;
for(int re i=2;i<=n;++i)if(p[1]!=p[i])
{std::swap(p[2],p[i]);flag=false;break;}
if(flag)printf("%.20Lf",(db)1),exit(0);flag=true;
for(int re i=3;i<=n;++i)if(sign(area(p[1],p[2],p[i])))
{std::swap(p[3],p[i]);flag=false;break;}
if(flag)printf("%.20Lf",(db)n),exit(0);flag=true;
for(int re i=4;i<=n;++i)if(sign(vol(p[1],p[2],p[3],p[i])))
{std::swap(p[4],p[i]);flag=false;break;}
if(flag)printf("%.20Lf",(db)n),exit(0);
for(int re i=1;i<=n;++i)
p[i].x+=reps(),p[i].y+=reps(),p[i].z+=reps();
for(int re i=1;i<=4;++i){
int a=(i&3)+1,b=(a&3)+1,c=(b&3)+1;
if(vol(p[a],p[b],p[c],p[i])>0)std::swap(b,c);
id[a][b]=id[b][c]=id[c][a]=++ct;
f[ct]=Face(a,b,c);ok[ct]=true;
}
for(int re i=5;i<=n;++i){
for(int re j=1;j<=ct;++j)
if(f[j].vol(p[i])>0)
{dfs(i,j);flag=j;break;}
if(!flag)continue;int cur=flag-1;flag=false;
for(int re j=cur+1;j<=ct;++j)if(ok[j]){
if((++cur)==j)continue;f[cur]=f[j],ok[cur]=true;
id[f[cur].a][f[cur].b]=id[f[cur].b][f[cur].c]=id[f[cur].c][f[cur].a]=cur;
}ct=cur;
}
}
inline db solve(db r,db x,db y){
if(x<0||y<0)return (x*y<0)?-solve(r,fabsl(x),fabsl(y)):solve(r,fabsl(x),fabsl(y));
if(x*x+y*y<=r*r)return x*y;db p=(r<y)?0:sqrtl(r*r-y*y),q=(r<x)?0:sqrtl(r*r-x*x);
return (p*y+q*x+(atan2l(y,p)-atan2(q,x))*r*r)*0.5;
}
inline Pnt intersection(cs Pnt &a,cs Pnt &b,cs Pnt &c,cs Pnt &d){
return a+(b-a)*(crs(c,d,a)/((b-a)*(d-c)));
}
inline bool on_seg(cs Pnt &p,cs Pnt &s,cs Pnt &e){return sign(dot(p-s,p-e))<=0;}
db calc(cs Face &f){
int a=f.a,b=f.b,c=f.c;std::swap(b,c);
if(fabsl(crs(q[a],q[b],q[c]))<eps){
db res=0;int tot=0;
if((crs(p[a],p[b],p[c]).z<0)^
(dot(p[b]-p[a],p[c]-p[a])<0))
std::swap(b,c);
for(int re i=0;i<4;++i){
if(crs(q[b],q[c],poly[i])>=-eps)tmp[tot++]=poly[i];
if(fabsl((q[c]-q[b])*(poly[i]-poly[i+1]))>eps){
Pnt p=intersection(q[b],q[c],poly[i],poly[i+1]);
if(on_seg(p,poly[i],poly[i+1]))tmp[tot++]=p;
}
}for(int re i=1;i+1<tot;++i)res+=crs(tmp[0],tmp[i],tmp[i+1]);
return fabsl(res*0.5);
}pt P=crs(p[a],p[b],p[c]);
db x=P.x/P.z*-.5,y=P.y/P.z*-.5,r=sqrtl((p[a].x-x)*(p[a].x-x)+(p[a].y-y)*(p[a].y-y));
db xl=std::max(xa-x,-r),xr=std::min(xb-x,r),yd=std::max(ya-y,-r),yu=std::min(yb-y,r);
if(xl>=xr||yd>=yu)return 0;
return solve(r,-xl,-yd)+solve(r,xr,-yd)+solve(r,-xl,yu)+solve(r,xr,yu);
}
void Main(){
n=gi();if(n==3)return (void)printf("3\n");
xa=gi(),ya=gi(),xb=gi(),yb=gi();
poly[0]=Pnt(xa,ya),poly[1]=Pnt(xb,ya);
poly[2]=Pnt(xb,yb),poly[3]=Pnt(xa,yb);poly[4]=poly[0];
S=(xb-xa)*(yb-ya);db s=(2*n-2)*S;
for(int re i=1;i<=n;++i)
q[i].x=gi(),q[i].y=gi(),p[i]=trans(q[i]);
Convex_3D();
for(int re i=1;i<=ct;++i)
s-=(f[i].normal().z>0)?calc(f[i]):(S-calc(f[i]));
printf("%.20Lf",s/S);
}
void file(){
#ifdef zxyoi
freopen("guard.in","r",stdin);
#endif
}
signed main(){file();Main();return 0;}
