二进制与逻辑电路-CA

计算机中数的表示

二进制“1”和“0”的表示

• 用电压的高低表示，半导体工艺，CMOS
• 用磁通量的有无表示，超导体工艺
• 用能级的高低表示，量子计算机
• 用基因序列表示，A, G, C, T, DNA计算机（本质也是二进制）

定点数的表示

1. 原码：A=an-1 an-2…… a1 a0表示

• 最高位an-1为符号位，0表示正，1表示负；其它位an-2…… a1 a0表示数值。
• 原码的问题：加减法效率低，两个“0”

2. 补码

• 本质：取模运算，不包含符号位的n位数，[Y]补=2^（n+1）+y，如-2%12=10
• 最高位an-1为符号位，0表示正，1表示负。
  
• 原码补码转换
  最高位为0时，一样；
  最高位为1时，最高位不变，其余位“按位取反加一”。
• 补码运算
  A-B=A+B的负数=A+(B求补)
• 加法溢出判断
  A和B的最高位一样，且结果的最高位与A和B的最高位不一样。

浮点数的表示

1. 由来
   定点数表示范围有限，太大或太小的数都不能表示，且除法不精确

2. 表示：IEEE 754标准

• 组成：符号位，阶码(exponent)，尾数(fraction)
  符号位：最高位
  阶码(exponent)：
  i. 阶码的移码表示：底为2，2(阶码-偏移值)（阶码=指数+偏移）
  ii. 范围：0<e<255（指数范围：-127<m<128)
  ①. e=255：无穷大数或非数
  ②. e=0：非规格化数或正负0
  IEEE 754允许特别小的非规格化数：阶码能表示的最小指数为-126，那更小的呢？
  此时阶码为0，尾数前的1不再加，即浮点数：0.f * 2^（e-126）。
  例如： $2^{-128}=(0.01)_2 * 2^{-126}$。
  这样，就填补了最小规格化数和0之间的一段空隙。
  
  尾数(fraction)
  规格化表示，尾数的最高位总为1，因此可以不存;
  例如：0.0012=1.02*2^-3(最高位1.0不存）

• 单精度32和双精度64（扩展的单双精度）
  

• IEEE 754 浮点格式参数
  
  NaN（not a number）实现方式：
  ① Singaling NaN：抛出异常的方式，无需定义NaN宏；
  ②Quiet NaN：计算机出现异常时不抛出异常来中断程序，而是把结果表示为一个特殊值NaN，此时NaN宏会被定义；

CMOS电路及工艺

P管与N管

• CMOS：Complementary互补的 Metal金属 Oxide氧化物 Semiconductor半导体，有NMOS和PMOS两种；
• NMOS：（绘图时“无圈”）
  门电压为高时导通，门电压为低时关闭；
  门电压现在在不断降低，现在在1v左右，甚至更低；
  
• PMOS：（绘图时“有圈”）
  门电压为高时关闭，门电压为低时导通；
  

反相器

由上下两个互补的PN管组成电路：
这样设计上开下关，上关下开的好处是：没有直流电流，总有一头关死，能大幅降低功耗；
取代了TTL和ECL；

N沟道MOS晶体管的示意图

1. 工作原理
   栅极不加电时，源漏之间是一对PN结，不导通；
   栅极加电后，吸引电子到栅氧化层下面，形成导电的沟道。 （附近会形成耗尽区）

2. 示意图
   

3. 有关Bulk
   原理：空穴移动，加上电场，周围电子就会跑来填补空穴；
   ○ N型材料：通过掺杂而形成多余电子的材料；
   ○ P型材料：通过掺杂而形成多余空穴的材料；
   （+：掺杂含量大，-：掺杂含量小）

4. P管和N管沟道长度一定，但宽度不同（常为：2:1或1.5:1）

MOS晶体管的工作状态

Vgs：产生耗尽区，形成桥梁；
Vds：形成电压差，吸引电流从源端到漏端；

MOS基本工艺—光刻

P衬底 nWell CMOS工艺

版图

1. 反相器版图
   
2. NAND2 和 NOR2 的电路及版图
   

CMOS逻辑电路

基本逻辑电路

组合逻辑电路：电路中没有存储单元，逻辑电路的输出完全由当前的输入决定
○ 单输入单输出有四种电路：输出恒0，输出恒1，输出反向，直通；
时序逻辑电路：电路中有存储单元，逻辑电路的输出由原来状态和当前的输入决定
○ 单输入单输出有无数种电路；

逻辑表达式

• Boolean代数的基本操作：与(*)、或(+)、非(^)
• 基本定律：
  
• CMOS中基本门：非、与非、或非
  

	非门	于非门	或非门
晶体管数	2	2	4

因此，逻辑表达式最好写成上述操作的组合。如，₍(AB)^(CD))=AB+C*D

CMOS组合电路的组成

• 用NMOS组成正逻辑
  串联表示与；并联表示并；
• 用PMOS组成反逻辑
  ^(A*B)=A+^B，P管并联；
  ^(A+B)=A*^B，P管串联；
• 正反逻辑串联
  由于N网络导通时接地，因此输出是反向的。
  例： ~(A&B | C&D)=_(AB)*(CD)=(_A+B)*(_C+D)
  
  注意：串联级数不能太大，一般不超过四级，因为串联电阻大，延迟就大；

真值表

对于每一种可能的输入组合，给出输出值。对于一个 n输入的电路，有2^n项。

• 卡诺图：
  便于逻辑表达式优化的输入输出关系表示。
  在图中相临的“1”或“X”合并成一项。
  例：一位全加器
  

逻辑图

直接用门及互连表示输入输出的逻辑关系；

• 与门，或门画法：
  
• 例：一位全加器
  
  对应的CMOS电路：
  
  补充问题：有关晶体管数目
  上述逻辑图中，标明的数字即每个门所需的晶体管数，最终一位全加器共需要56个晶体管；
  
  （相当于每一个输入都需要2个晶体管）

时序逻辑电路：

• 特点：时序逻辑电路内部有存储单元，其行为由输入和内部单元的值共同决定

• 组成结构
  

• 分类
  同步时序逻辑电路：所有存储单元的变化由时钟统一触发。功耗大，简单；（计算机常用）
  异步时序逻辑电路：低功耗，复杂；

• RS触发器：其他寄存器的基础
  
  例题：加深理解
  

• D触发器
  D门闩（D锁存器）
  
  工作原理：由时钟C电平进行控制，电平高时输入，低时保持
  -C为0时：R和S都为1，输出保持原有状态。
  -C为1时：输出和输⼊D相同，相当于直通。
  D触发器：由两个D锁存器串联形成
  
  工作原理：通过时钟C跳沿（非电平）来锁存数据：
  -C=1时，锁1直通，锁2保持；
  -C=0时，锁1保持，锁2直通；
  -C从1->0时，把D的值锁存；
  触发器延迟=Setup+CLK-to-Q
  三个重要时间参数：Setup、Hold、CLK-to-Q
  – Hold：时钟下降后数据变化不影响第一级D-Latch（可负）
  • 在本电路中为0
  – Setup：时钟沿下降之前保证数据已采到第一级D-latch（可负）
  • 1级反相器 + 3级与非门（Q端从1变0）
  – Clock-to-Q：时钟沿下降后引起Q的变化
  • 1级反相器（C反相器与D方向器并行）+ 3级与非门
  （上述只是初略计算，具体的值需要仿真）
  EDFF电路：带输入使能的D触发器（只有E有效，才能输入）
  例题：加深理解
  

CMOS电路延迟原理

输入电压变化时，输出电压的变化不是瞬时完成的；

（1）out：0->1，通过P管电阻充电（P管电阻+输出电容决定延迟）

（2）out：1->0，通过N管电阻放电至地（N管电阻+输出电容决定延迟）

（3）CMOS电路延迟模型
1）与延迟有关的因素：输入transition、内部延迟、输出负载
2）CMOS延迟=自身延迟（ns）+负载延迟（ns/fF*负载）
– 负载包括：下一级负载、连线延迟等
– ns是电容单位，fF是负载单位
3）例：二输入与非门

4）例：全加器

（4）标准单元延迟的计算
①深亚微米电路中连线延迟占总延迟的大部分；
②连线延迟的计算是一个不断迭代求精的过程，
– 综合时根据负载个数估计线长，非常初略
– 布局后根据距离估计线长，比较准确了
– 布线后进一步考虑具体连线、互相干扰、过孔等精确连线信息

（5）降低延迟的方法
①通过结构设计降低延迟：
– 如流水级的划分、CACHE读出和命中比较是否在同一级、浮点流水级设计、Pipeline stalling signal 的设置
②逻辑设计：
– 减少门的级数；

– 负载平衡：CMOS的负载能力较低，分推

（如多选一通路的选择次序、加法器算法、流水级间的局部调整等）

③物理设计
– 动态电路、clock skew、clock jitter、transition time、布局布线

从Verilog到版图：

Verilog语言：

• 组合逻辑：assign
  

• 时序逻辑：always (@posedge clock)
  

• 模块调用
  

• 实例一：四位计数器
  

从Verilog 到GDSII（以3-8译码器为例）

• 3-8译码器
  
• Verilog
  
• 网表
  
• 布线后
  
• 版图
  

其它“0”和“1”的表示方法

1.方法
- 用磁通量的有无表示，超导体工艺
- 用能级的高低表示，量子计算机
- 用基因序列表示，A, G, C, T, DNA计算机

2.超导计算—RSFQ技术
（1）基本原理：超导(4-5K)环中的磁通量具有量子化特性，设计电路使超导环中的磁通量只变化一个磁通量，用磁通量的有无来表示二进制数位的“1” 和 “0”。磁通量的变化由外加电流控制。
（2）特点：
①. 工作频率高–100 GHz (实验室已达370 GHz, 1.5P 工艺)。
②. 每个门的功率0.1PW。
③. 工艺比较简单。

3.量子计算
（1）量子力学特性：
量子叠加态(superposed state)
□ 量子器件的信息位称为量子位(qubit)，它可处于叠加态。
□ 叠加态可以是 “0” 也可以是 “1”。
□ 通过测量或与其他物体发生相互作用可呈现出 “0” 态或 “1” 态。
□ 由于每个量子位都可以是 “0” 或 “1”， n 个量子位就可以表示 2n 个 n 位数。
□ 常规计算机的一个 n 位存储单元只能存放一个 n 位数，而 n 个量子位可以存放 2n 个 n 位数，可以实现超大容量的存储器。
量子纠缠态(entangled state)
□ 用作运算的多个量子位还应处于纠缠态，即所有量子位的状态紧密相关。
□ 当测量某个量子位时，会影响其他量子位的测量结果。
量子并行 (quantum parallelism)
□ 计算 f(x) 时，可同时计算出 x 的所有值的 f(x)。所以不需要多次循环，也不需要多个处理机并行计算。

（2）应用领域
大数 N 因子分解：令 n = log2N , 经典算法所需步骤为 2^(n/2)，Shor 量子并行算法所需步骤为 Poly(n)，Poly(n) 为 n 的多项式。该算法将 NP 问题转换为 P 问题。
搜寻算法：在 N 个元素的集合中搜寻某个元素，经典算法搜寻 N/2 次后，找到的概率为 1/2， Grover 量子搜寻算法则只需 N^(1/2) 次，即可达到同样概率。
量子系统模拟：常规计算机不可能有效地模拟量子系统，因为它们的物理机制不同。用常规计算机模拟量子系统，所需的信息量和时间都远大于模拟经典系统。量子计算可用于研究高温高密度等离子体、量子色动力学、晶体固态模型、分子行为的量子模型等。

（3）物理实现
量子位的实现：任何两态的量子系统都可作为量子位，如原子的能级、电子或原子核的自旋、光子的正交偏振态等。
量子计算机的实现：有多种可能，包括：核磁共振（用磁场中的原子核自旋作为量子位）、离子阱（用被俘获在线性量子阱中的离子作为量子位）、硅基半导体量子器件（杂质核自旋与电子自旋相互作用）等。

（4）存在问题
□ 量子位的缠结态容易崩溃，位数越多，越难实现。
□ 量子器件之间的连接。
□ 为了维持量子逻辑的一致性，量子系统和环境的隔离。
□ 设备缺陷所引起的逻辑错误

4.分子计算机
（1）原理：
DNA 计算机利用 DNA 分子保存信息。DNA 分子是由 A, G, C, T 四种核苷酸（碱基）组成的序列。不同的序列可用来表示不同的信息。通过 DNA 分子之间的一系列生化反应来进行运算，可产生表示结果的 DNA 分子。已解决了 7 个城市的旅行售货员等问题。
（2）优点：
□ 高度并行：所有 DNA 分子同时运算。
□ 能耗低：半导体计算机的 10^10 之一。
□ 存储密度大：磁存储器的 10^12 倍。
（3）缺点：
□ 生化反应慢、操作有随机性、DNA 分子容易水解、DNA 分子之间难以通信。