题解 LA3295

题目大意 多组数据，每组数据给定两个整数 \(n,m\)，请求出 \(n\times m\) 的网格（\((n+1)\times(m+1)\) 的格点）上有多少个不同的三角形（不共线的三元点组）。

分析这道题和 LA3720 那道数直线的题很像。我们用 \(dp[i][j]\) 表示 \(i\times j\) 的网格中的其中一个点是 \((0,0)\) 的三点共线的个数，用 \(ans[i][j]\) 表示 \(i\times j\) 的网格中总的三点共线的个数，有

\[dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1]+gcd(i,j)-1\]

\[ans[i][j]=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]-ans[i-1][j-1]+dp[i][j]\]

第二个式子最后一项是因为点 \((i,j)\) 在 \(i\times j\) 网格连出的三点共线个数等于点 \((0,0)\) 在 \(i\times j\) 网格连出的三点共线个数（因为矩形是中心对称的）。

最终答案为 \(C_{(n+1)(m+1)}^3-(n+1)C_{m+1}^3-(m+1)C_{n+1}^3-2\cdot ans[n][m]\)。

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using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn = 1005;
const int maxm = 1005;

ll n, m;
ll dp[maxn][maxm], ans[maxn][maxm];

void Init(int N, int M)
{
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
        for(int j = 1; j <= M; ++j)
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + __gcd(i, j) - 1;
    
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
        for(int j = 1; j <= M; ++j)
            ans[i][j] = ans[i - 1][j] + ans[i][j - 1] - ans[i - 1][j - 1] + dp[i][j];
}

ll C(int x, int y)
{
    if(x < y) return 0;
    
    ll res = 1;
    for(int i = 1; i <= y; ++i)
        res *= x, res /= i, --x;
    return res;
}

int main()
{
    Init(1000, 1000);
    
    int t = 0;
    while(~scanf("%lld%lld", &n, &m) && n && m) {
        ++n, ++m;
        printf("Case %d: %lld\n", ++t, C(n * m, 3) - n * C(m, 3) - m * C(n, 3) - 2 * ans[n - 1][m - 1]);
    }
}

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