HDU 1568 斐波拉契数列(拓展)

HDU 1568

1. 使用斐波拉契数列的递推式进行计算，而不是循环的计算出所要求的。这会超出时间限制。
   

2. 计算出来的结果可能会很大，应该使用double型存储。

3. 如何求一个大数的前m位呢？思路应该是下面这个样子的：

当一个数非常大时，如何求出其前几位呢？

• 如果是给定一个特定的数，当然可以逐步取出每一位即可。
• 但是，当求 $x^{y}$的前几位时怎么办呢？若x，y都非常大，则显然很难解决：也许可以用大数乘法，暴力求解，但我们明明只需要前几位，却全部进行运算，结果自然是既占内存，又耗时间。同理，对于此题——求斐波拉契数列的前几位来说，求出每个斐波拉契数显然是不合适的。因此，可以采用取对数的方法来解决。

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取对数:

假设给出一个数x = 10234432，那么有：
log10(10234432) = log10(1.0234432 * $10^{7}$) = log10(1.0234432) + 7
由上式知：

• 7是log10(10234432)的整数部分；

• log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分。

  • 可以算出log10(1.0234432) = 0.010063744，故 $10^{0.010063744}$ = 1.023443198。
  • 所以，此时可以看出规律：要求该数的前4位，则将1.023443198 * 1000，即 $10^{0.010063744}$ * 1000，即 $10^{log10(1.0234432)}$ * 1000 —> pow(10, x取对数后的小数部分) * 1000。

4. 对上面的公式两边取对数：
   
5. 另外，需要提及的一点是前20项Fibonacci数需要自己计算，一方面是因为Fibonacci数未满4位，更重要的一点是Fibonacci数较小时，公式的精确度不高。比如第17项Fibonacci应该是1597，但公式求得的是1596；而19项Fibonacci应该是4181，但公式求得的是4180

AC代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>  
#include<cmath>
using namespace std;
int f[21] = {0, 1}; //前20位都在四位数以内
int main()
{	
	//freopen("data.in", "r", stdin); 
	for (int i = 2; i < 21; i++)
		f[i] = f[i-1] + f[i-2];
		
	int n;
	while (cin >> n) //边输入边计算 
	{
		double res;
		if (n <= 20)
		{	
			cout << f[n] << endl;
		}
		else 
		{
			res = log10(1.0/sqrt(5.0))+n*log10((1+sqrt(5.0))/2);
			res = res - floor(res);
			res = pow(10.0, res);
			while (res < 1000)
				res *= 10;
			cout << (int)res << endl;
		}
	}	
	return 0;
}