M斐波那契数列（HDU-4549）

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Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下： 

F[0] = a 
F[1] = b 
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input

输入包含多组测试数据； 
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

Sample Input

0 1 0
6 10 2

Sample Output

0
60

思路：

根据 F[0]=a，F[1]=b 与 F[n] = F[n-1] * F[n-2] 进行递推

有：

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其中，f[i] 为斐波那契数列数列，即：f[i]=f[i-1]+f[i-2]

因此，可先根据斐波那契数列构造矩阵，求出 f[n-1] 与 f[n]，然后直接求 F[n]

构造矩阵，有：

化简，得：

那么：

由于 n 最大可达到 1E9，f[n] 与 f[n-1] 会很大，要求的  一定会爆

因此要使用费马小定理降幂

根据费马小定理：

那么：

Source Program

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#define PI acos(-1.0)
#define E 1e-9
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
const int MOD=1000000007;
const int N=10+5;
const int dx[]= {-1,1,0,0};
const int dy[]= {0,0,-1,1};
using namespace std;
struct Matrix{
    LL s[N][N];
};
Matrix e;//单位矩阵E
Matrix x;//构造矩阵

void init(){
    for(int i=1;i<=2;i++)//主对角线为1
        e.s[i][i]=1;
}
Matrix mul(Matrix A,Matrix B,LL n){//矩阵乘法，n代表A、B两个矩阵是n阶方阵
    Matrix temp;//临时矩阵，存放A*B结果

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            temp.s[i][j]=0;

    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                temp.s[i][j]=(temp.s[i][j]+A.s[i][k]*B.s[k][j])%(MOD-1);//费马小定理降幂后模为1E9-1
    return temp;
}
Matrix quickPower(Matrix a,LL b,LL n){//矩阵快速幂，求矩阵n阶矩阵的b次幂
    Matrix ans=e;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=mul(ans,a,n);//ans=e*a
        a=mul(a,a,n);//a=a*a
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
LL quickPow(LL a,LL b){//快速幂
    LL res=1;
    while(b){
        if(b&1)
            res=(res*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
    init();
    LL a,b,n;
    while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&n)!=EOF){
        LL fa;//a的幂
        LL fb;//b的幂
        if(n==0){
            fa=1;
            fb=0;
        }
        else if(n==1){
            fa=0;
            fb=1;
        }
        else if(n==2){
            fa=1;
            fb=1;
        }
        else{
            x.s[1][1]=1;x.s[1][2]=1;
            x.s[2][1]=1;x.s[2][2]=0;

            Matrix res=quickPower(x,n-2,2);
            //注意MOD降幂
            fa=((res.s[2][1]+res.s[2][2])%(MOD-1)+(MOD-1))%(MOD-1);//fn-1
            fb=((res.s[1][1]+res.s[1][2])%(MOD-1)+(MOD-1))%(MOD-1);//fn
        }

        LL temp1=quickPow(a,fa);//a^f(n-1)
        LL temp2=quickPow(b,fb);//b^f(n)

        LL result=(temp1*temp2)%MOD;

        printf("%lld\n",result);
    }
    return 0;
}