李弘毅机器学习笔记：第三章—Error的来源

李弘毅机器学习笔记：第三章—Error的来源

从上节课测试集数据来看， $Average\ Error$ 随着模型复杂增加呈指数上升趋势。更复杂的模型并不能给测试集带来更好的效果，而这些 $Error$ 的主要有两个来源，分别是 $bias$ 和 $variance$ 。

然而 $bias$ 和 $variance$ 是什么？可以查看 机器学习中的Bias(偏差)，Error(误差)，和Variance(方差)有什么区别和联系？

估测

假设真实的模型为 $\hat f$ ， 如果我们知道 $\hat f$ 模型，那是最好不过了，但是 $\hat f$ 只有 Niamtic 公司才知道。

所以我们只能通过收集 Pokemon精灵 的数据，然后通过 step1~step3 训练得到我们的理想模型 $f^*$， $f^*$ 其实是 $\hat f$ 的一个预估。

这个过程就像打靶， $\hat f$ 就是我们的靶心， $f^*$ 就是我们投掷的结果。如上图所示， $\hat f$ 与 $f^*$ 之间蓝色部分的差距就是偏差和方差导致的。

估测变量x的偏差和方差

我们先理解一下偏差和方差是怎样计算的呢？ 偏差(Bias)和方差(Variance)——机器学习中的模型选择

评估x的偏差

• 假设 $x$ 的平均值是 $\mu$，方差为 $\sigma^2$

评估平均值要怎么做呢？

• 首先拿到 $N$ 个样本点： $\{x^1,x^2,···,x^N\}$
• 计算平均值 $m$, 得到 $m=\frac{1}{N}\sum_n x^n \neq \mu$

但是如果计算很多组的 $m$ ，然后求 $m$ 的期望：

$E[m]=E[\frac{1}{N}\sum x^n]=\frac{1}{N}\sum_nE[x^n]=\mu$

这个估计呢是无偏估计（unbiased）。

然后 $m$ 分布对于 $\mu$ 的离散程度（方差）：
$Var[m]=\frac{\sigma^2}{N}$

这个取决于 $N$，下图看出 $N$ 越小越离散：

估测变量x的方差

如何估算方差呢？

为什么会有很多的模型?

讨论系列02中的案例：这里假设是在平行宇宙中，抓了不同的神奇宝贝

用同一个model，在不同的训练集中找到的 $f^∗$ 就是不一样的

这就像在靶心上射击，进行了很多组（一组多次）。现在需要知道它的散布是怎样的，将100个宇宙中的model画出来

不同的数据集之前什么都有可能发生—||

考虑不同模型的方差

一次模型的方差就比较小的，也就是是比较集中，离散程度较小。而5次模型的方差就比较大，同理散布比较广，离散程度较大。

所以用比较简单的模型，方差是比较小的（就像射击的时候每次的时候，每次射击的设置都集中在一个比较小的区域内）。如果用了复杂的模型，方差就很大，散布比较开。

这也是因为简单的模型受到不同训练集的影响是比较小的。

考虑不同模型的偏差

这里没办法知道真正的 $\hat{f}$，所以假设图中的那条黑色曲线为真正的 $\hat{f}$

结果可视化，一次平均的 $\bar{f}$ 没有5次的好，虽然5次的整体结果离散程度很高。

一次模型的偏差比较大，而复杂的5次模型，偏差就比较小。

直观的解释：简单的模型函数集的space比较小，所以可能space里面就没有包含靶心，肯定射不中。而复杂的模型函数集的space比较大，可能就包含的靶心，只是没有办法找到确切的靶心在哪，但足够多的，就可能得到真正的 f¯f¯。

偏差v.s.方差

将系列02中的误差拆分为偏差和方差。简单模型（左边）是偏差比较大造成的误差，这种情况叫做欠拟合，而复杂模型（右边）是方差过大造成的误差，这种情况叫做过拟合。

怎么判断？

分析

如果模型没有很好的训练训练集，就是偏差过大，也就是欠拟合
如果模型很好的训练训练集，即再训练集上得到很小的错误，但在测试集上得到大的错误，这意味着模型可能是方差比较大，就是过拟合。
对于欠拟合和过拟合，是用不同的方式来处理的

偏差大-欠拟合

此时应该重新设计模型。因为之前的函数集里面可能根本没有包含 $f^*$。可以：

将更多的函数加进去，比如考虑高度重量，或者HP值等等。
或者考虑更多次幂、更复杂的模型。
如果此时强行再收集更多的data去训练，这是没有什么帮助的，因为设计的函数集本身就不好，再找更多的训练集也不会更好。

方差大-过拟合

简单粗暴的方法：更多的数据

但是很多时候不一定能做到收集更多的data。可以针对对问题的理解对数据集做调整。比如识别手写数字的时候，偏转角度的数据集不够，那就将正常的数据集左转15度，右转15度，类似这样的处理。

模型选择

现在在偏差和方差之间就需要一个权衡
想选择的模型，可以平衡偏差和方差产生的错误，使得总错误最小
但是下面这件事最好不要做：

用训练集训练不同的模型，然后在测试集上比较错误，模型3的错误比较小，就认为模型3好。但实际上这只是你手上的测试集，真正完整的测试集并没有。比如在已有的测试集上错误是0.5，但有条件收集到更多的测试集后通常得到的错误都是大于0.5的。

交叉验证

图中public的测试集是已有的，private是没有的，不知道的。交叉验证 就是将训练集再分为两部分，一部分作为训练集，一部分作为验证集。用训练集训练模型，然后再验证集上比较，确实出最好的模型之后（比如模型3），再用全部的训练集训练模型3，然后再用public的测试集进行测试，此时一般得到的错误都是大一些的。不过此时会比较想再回去调一下参数，调整模型，让在public的测试集上更好，但不太推荐这样。（心里难受啊，大学数模的时候就回去调，来回痛苦折腾）

上述方法可能会担心将训练集拆分的时候分的效果比较差怎么办，可以用下面的方法。

N-折交叉验证

将训练集分成N份，比如分成3份。

比如在三份中训练结果Average错误是模型1最好，再用全部训练集训练模型1。