八种概率分布模型

一、0-1分布

$\def\arraystretch{1.5} \begin {array}{c:c:c} X & 0 & 1 \\ \hline P & p & 1-p \end {array}$

0-1分布概率为：

$P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}，其中k=\{0,1\}$

例：

二、几何分布

事件发生的概率为 $p$ ，前 $k-1$ 次不发生，第 $k$ 次发生的概率为：
$P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}\times p，其中k=1,2,3...$

例如：射击中，射中的概率为0.6，连续射击，第 $k$ 次射中的概率

三、二项分布

事件发生的概率为 $p$ ，做了 $n$ 次实验，发生了 $k$ 次的概率：
$P\{X=k\} = C_n^kp^k(1-p)^{n-k}，其中k=0,1,2,3...n$
记为：
$X\thicksim B(n,p)$
0-1分布式二项式分布特例，此时 $n=1,k=0,1$

四、泊松分布

日常生活中，大量事件是有固定频率的。

• 某医院平均每小时出生3个婴儿
• 某公司平均每10分钟接到1个电话
• 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
• 某网站平均每分钟有2次访问

它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？

有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

泊松分布是二项分布的极限情况，n是无穷大的
$\begin{aligned} P\{X=k\}=&\lim_{n→∞} C_{n}^{k}\times p^{k}\times (1-p)^{n-k} \\ =&\frac{λ^{k}}{k!}e^{-λ} \end{aligned}$
记为：
$X\thicksim P(λ)$

上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，k 表示数量，λ 表示事件的频率，此处等于3。

接下来两个小时(此处λ=3*2=6)，一个婴儿都不出生的概率是：
$P\{X=0\}=\frac{6^{0}}{0!}e^{-6}\approx 0.0025$

接下来一个小时(此处λ=3)，至少出生两个婴儿的概率是：
$\begin{aligned} P\{X\ge2\} =&1-P\{X\lt2\}\\ =&1-P\{X=1\}-P\{X=0\}\\ =&1-\frac{3^{1}}{1!}e^{-3}-\frac{3^{0}}{0!}e^{-3}\\ \approx&1-0.1494-0.0498 ~\text{(查表)} \\ \approx& 0.8009 \end{aligned}$

例1（摘自《泊松分布与美国枪击案》）：
已知某家小杂货店，平均每周售出2个水果罐头。请问该店水果罐头的最佳库存量是多少？

各个参数的含义：
P：每周销售k个罐头的概率。
X：水果罐头的销售变量。
k：X的取值（0，1，2，3…）。
λ：每周水果罐头的平均销售量2。
　
从上表可见，如果存货4个罐头，95%的概率不会缺货（平均每19周发生一次）；如果存货5个罐头，98%的概率不会缺货（平均59周发生一次）。

例2（摘自视频）：
电话台平均每分钟接到3次电话，符合泊松分布 $X\thicksim P(3)，λ=3$，问每分钟接到电话不超过5次的概率？
解：
$P\{X=k\}=\cfrac{λ^{k}}{k!}e^{-λ}=\cfrac{3^{k}}{k!}e^{-3}$
$P\{X\leq5\}=\displaystyle\sum_{k=0}^5\cfrac{3^{k}}{k!}e^{-3}=0.916$ (查表)
网上有泊松分布累加表与数值表两种，后者需要累加起来，如下是累加表：

泊松分布数值表：

参考资料：
《泊松分布与美国枪击案》
《泊松分布和指数分布：10分钟教程》
《如何通俗理解泊松分布？》
《概率论与数理统计》教学视频全集（宋浩）泊松分布
《泊松分布函数表》

五、超几何分布

如下图所示，总共100个学生，男生60人，女生40人，取10个学生，问取的10人中男生人数为k的概率是多少？

总共有 $C_{100}^{10}种情况$，取k个男生的情况有 $C_{60}^kC_{40}^{10-k}$种，概率为：
$P\{X=k\}=\cfrac{C_{60}^kC_{40}^{10-k}}{C_{100}^{10}}，其中k=0,1,2...,10$

参考资料：
《概率论与数理统计》教学视频全集（宋浩）超几何分布

六、均匀分布

均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。
均匀分布的概率密度函数为：
$f(x)= \begin{cases} \cfrac{1}{b-a} &a\leq x\leq b \\ 0 &\text{else} \end{cases}$
X服从均匀分布记为：
$X\thicksim U[a,b]$

如下图所示， $\cfrac{1}{b-a}\times(b-a)=1$，即是 $f(x)$的积分面积，即总概率之和为1：

分布函数为
$f(x)= \begin{cases} 0 &x\lt a\\ \cfrac{x-a}{b-a} &a\leq x\lt b \\ 1 &x\ge b \\ \end{cases}$

七、指数分布

参考四、泊松分布
指数分布是事件的时间间隔的概率。下面这些都属于指数分布。

• 婴儿出生的时间间隔
• 来电的时间间隔
• 奶粉销售的时间间隔
• 网站访问的时间间隔

指数分布密度函数：
$f(x)= \begin{cases} λe^{-λx} &x>0 \\ 0 &x\le0 \end{cases}$
分布函数：
$f(x)= \begin{cases} 1-e^{-λt} &x>0 \\ 0 &x\le0 \end{cases}$
X服从指数分布，记为：
$X\thicksim \exp(λ)$

指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。
$\begin{aligned} P\{X>t\} &=P\{X=0\}\\ &=\cfrac{(λt)^{k}}{k!}e^{-λt}\\ &=\cfrac{(λt)^{0}}{0!}e^{-λt}\\ &=e^{-λt} \end{aligned}$

反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。
$P\{X\le t\}=1-P\{X>t\}=1-e^{-λt}$
接下来15分钟，会有婴儿出生的概率为：
$P\{X\le 0.25\}=1-e^{-3\times0.25}\approx0.5276$
接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是：
$P\{0.25\le X\le 0.5\}=P\{X\le 0.5\}-P\{X\le 0.25\}$
参考资料：
《泊松分布和指数分布：10分钟教程》
《概率论与数理统计》教学视频全集（宋浩）指数分布

八、正态分布

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，关于直线 $x=μ$ 对称，并在 $x=μ$处取得最大值 $\frac{1}{σ \sqrt{2\pi}}$，因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为 $μ$、方差为 $σ^2$的正态分布，记为：
$X\thicksim N(μ,σ^2)$

方差公式： $\sigma^2=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}$
标准差公式： $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$

期望值μ决定曲线的左右位置，标准差σ决定分布的幅度。μ不变，σ值越小越陡峭。

正态分布的密度函数为： $\phi(x) = \frac{1}{σ \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\big(\cfrac{x-μ}{σ} \big)^2}$

当 $μ = 0,σ = 1$ 时的正态分布是标准正态分布，记为 $X\thicksim N(0,1)$。标准正态分布可以查表求值。

查考资料：
《百度百科-正态分布》
《数学乐-正态分布》
《标准正态分布表》
《概率论与数理统计》教学视频全集（宋浩）正态分布
《正态分布（高斯分布）》