蓝桥杯：最大值路径 动态规划 + DFS
题目
问题描述
刷微博，编程序。如下图所示，@北京发布 提出了如下“头脑震荡”问题。对此问题做一般化描述：
有n阶方阵，从矩阵的左下角元素为起点，从行或列（水平或垂直）两个方向上移动，直到右上角。求出有多少条路径可以使得经过的元素累加值最大，最大值是多少。
输入格式
共有n+1行。
第一行整数n，表示矩阵的阶数，2<=n<=10。
第二行起，每行n个整数，以空格分隔，共n行。
输出格式
一行，两个空格分隔的数，第一个表示最大值路径的条数，第二个表示最大值。
样例输入
5
4 5 4 5 6
2 6 5 4 6
2 6 6 5 2
4 5 2 2 5
5 2 5 6 4
样例输出
3 47
不同于四个方向都可以走的滑雪：
https://blog.csdn.net/weixin_44176696/article/details/103974371
https://blog.csdn.net/weixin_44176696/article/details/103978437
本题只可以走上/右，没有回头路，可以按方向DP
思路
状态转移方程：
(i, j) 到终点最长路径 = (i-1, j)到终点最长路径，(i, j+1)到终点最长路径 中 最长的一条 +( i, j)位置的数字
状态定义
#define maxlen 12
int max_path[maxlen][maxlen]; // DP用数组，保存从 i, j 到终点的最长路径长度
动态规划实现
由于在第一行，只能向右，第一列，只能向上，所以可以初始化DP数组
#define maxlen 12
#define maxh 11451
int a[maxlen][maxlen]; // 保存输入数据的数组
int visited[maxlen][maxlen]; // DFS 用访问控制数组
int max_path[maxlen][maxlen]; // DP用数组，保存从 i, j 到终点的最长路径长度
int r, c; // 行，列数
int mmax; // 最长路径长度
int cnt = 0; // 最长路径条数计数器
// 初始化 DP 数组 终点值
max_path[1][c] = a[1][c];
// 如果在 第一行，那么只能向右，初始化DP数组第一行
for(int i=2; i<=r; i++)
{
max_path[i][c] = max_path[i-1][c] + a[i][c];
}
// 如果在第一列，那么只能向上，初始化DP数组第一列
for(int i=c-1; i>=1; i--)
{
max_path[1][i] = max_path[1][i+1] + a[1][i];
}
然后我们可以按上，右方向DP，回推前面格子的路径长度
// 按 上，右 DP （从终点向起点回推）
#define max_func(a, b) ((a>b) ? (a) : (b))
for(int i=2; i<=r; i++)
{
for(int j=c-1; j>=1; j--)
{
// 状态转移：i,j 到终点最长路径 =
// (i-1,j)到终点最长路径，(i,j+1)到终点最长路径 中 最长的一条 + (i,j)位置的数字
max_path[i][j] = max_func(max_path[i-1][j], max_path[i][j+1]) + a[i][j];
}
}
然后直接访问 DP 数组的起点位置，可得到起点到终点的最长路径长度
mmax = max_path[r][1]; // 起点的值即为起点到终点的最长路径长度
可是这题蛋疼的是还有数一下路径有多少条，于是直接暴力DFS了
// DFS + 状态重置
// 只要dfs到终点且路径是最长，就 cnt++
void dfs(int x, int y, int &l)
{
if(1<=x && x<=r && 1<=y && y<=c)
{
visited[x][y] = 1;
l += a[x][y];
if(x==1 && y==c && l==mmax)
{
cnt += 1;
visited[x][y] = 0;
l -= a[x][y];
return;
}
dfs(x-1, y, l);
dfs(x, y+1, l);
visited[x][y] = 0;
l -= a[x][y];
}
}
AC完整代码
#include <iostream>
#include <deque>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxlen 12
#define maxh 11451
int a[maxlen][maxlen]; // 保存输入数据的数组
int visited[maxlen][maxlen]; // DFS 用访问控制数组
int max_path[maxlen][maxlen]; // DP用数组，保存从 i, j 到终点的最长路径长度
int r, c; // 行，列数
int mmax; // 最长路径长度
int cnt = 0; // 最长路径条数计数器
// DFS + 状态重置
// 只要dfs到终点且路径是最长，就 cnt++
void dfs(int x, int y, int &l)
{
if(1<=x && x<=r && 1<=y && y<=c)
{
visited[x][y] = 1;
l += a[x][y];
if(x==1 && y==c && l==mmax)
{
cnt += 1;
visited[x][y] = 0;
l -= a[x][y];
return;
}
dfs(x-1, y, l);
dfs(x, y+1, l);
visited[x][y] = 0;
l -= a[x][y];
}
}
int main()
{
// padding init
memset(a, 0, sizeof(a));
memset(max_path, 0, sizeof(max_path));
memset(visited, 0, sizeof(visited));
cin>>r;
c = r;
for(int i=1; i<=r; i++)
{
for(int j=1; j<=c; j++)
{
cin>>a[i][j];
}
}
// 初始化 DP 数组 终点值
max_path[1][c] = a[1][c];
// 如果在 第一行，那么只能向右，初始化DP数组第一行
for(int i=2; i<=r; i++)
{
max_path[i][c] = max_path[i-1][c] + a[i][c];
}
// 如果在第一列，那么只能向上，初始化DP数组第一列
for(int i=c-1; i>=1; i--)
{
max_path[1][i] = max_path[1][i+1] + a[1][i];
}
// 按 上，右 DP （从终点向起点回推）
#define max_func(a, b) ((a>b) ? (a) : (b))
for(int i=2; i<=r; i++)
{
for(int j=c-1; j>=1; j--)
{
// 状态转移：i,j 到终点最长路径 =
// (i-1,j)到终点最长路径，(i,j+1)到终点最长路径 中 最长的一条 + (i,j)位置的数字
max_path[i][j] = max_func(max_path[i-1][j], max_path[i][j+1]) + a[i][j];
}
}
mmax = max_path[r][1]; // 起点的值即为起点到终点的最长路径长度
memset(visited, 0, sizeof(visited));
int l = 0;
dfs(r, 1, l);
cout<<cnt<<" "<<mmax<<endl;
return 0;
}
/*
5
4 5 4 5 6
2 6 5 4 6
2 6 6 5 2
4 5 2 2 5
5 2 5 6 4
*/
