leetcode410. 分割数组的最大值 动态规划

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• 给定一个非负整数数组 nums 和一个整数 m ，你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子数组。

• 设计一个算法使得这 m 个子数组各自和的最大值最小。

示例 1：

输入：nums = [7,2,5,10,8], m = 2
输出：18
解释：
一共有四种方法将 nums 分割为 2 个子数组。 
其中最好的方式是将其分为 [7,2,5] 和 [10,8] 。
因为此时这两个子数组各自的和的最大值为18，在所有情况中最小。
示例 2：

输入：nums = [1,2,3,4,5], m = 2
输出：9
示例 3：

输入：nums = [1,4,4], m = 3
输出：4
 

提示：

1 <= nums.length <= 1000
0 <= nums[i] <= 106
1 <= m <= min(50, nums.length)

题解

• 令 dp[i][j]表示将数组的前 i 个数分割为 j 组所能得到的最大连续子数组和的最小值

• 确定装填转移方程(考虑dp[i][j]需要遍历所有分为j-1组的情况)：
  d p [ i ] [ j ] = m i n k = 0 i − 1 { m a x ( d p [ k ] [ j − 1 ] , s u b ( k + 1 , i ) ) }                                 = m i n k = 0 i − 1 { m a x ( d p [ k ] [ j − 1 ] , s u m ( n u m s [ k + 1 … j ] ) ) } dp[i][j]= min_{k=0}^{ i−1} \{max(dp[k][j−1],sub(k+1,i))\}\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = min_{k=0}^{ i−1} \{max(dp[k][j−1],sum(nums[k+1…j]))\} dp[i][j]=mink=0i−1​{ max(dp[k][j−1],sub(k+1,i))}                               =mink=0i−1​{ max(dp[k][j−1],sum(nums[k+1…j]))}

• 确定边界：填表法

        nums = [7,2,5,10,8]，m=2。

i\j	0	1	2
0	无法分为0组	INT_MAX	INT_MAX
1	无法分为0组	7	1个数无法分为2组（i<j）
2	无法分为0组	7+2	$min([7],[2])=2$
3	无法分为0组	7+2+5	$min\left[\begin{array}{c}max(dp[1][1],[2,5])\\ max(dp[2][1],[5])\end{array}\right]=7$
4	无法分为0组	7+2+5+10	$min\left[\begin{array}{c}max(dp[1][1],[2,5,10])\\ max(dp[2][1],[5,10])\\ max(dp[3][1],[10])\end{array}\right]=14$ 前*个数分为一组和剩下的部分
5	无法分为0组	7+2+5+10+8	$min\left[\begin{array}{c}max(dp[1][1],[2,5,10,8])\\ max(dp[2][1],[5,10,8])\\ max(dp[3][1],[10,8])\\ max(dp[4][1],[8])\end{array}\right]=18$

code

class Solution {
    
    
public:
    int splitArray(vector<int>& nums, int m) {
    
    
        int n = nums.size();
        vector<vector<long long>> dp(n + 1, vector<long long>(m + 1, LLONG_MAX));
        vector<long long> sub(n + 1, 0);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
            sub[i + 1] = sub[i] + nums[i];
        }
        dp[0][0] = 0;
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
            for (int j = 1; j <= min(i, m); j++) {
    
    
                for (int k = 0; k < i; k++) {
    
    
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], max(dp[k][j - 1], sub[i] - sub[k]));
                }
            }
        }
        return (int)dp[n][m];
    }
};