有一类比较有趣的算法题。题目要求的是，按照一定的规则，在一个一维或二维的空间中，走到某个点，一共有多少种走法。我在这里介绍一下我遇到过的题：
1、青蛙跳台阶
一只青蛙一次只能跳一阶或两阶台阶，总共要跳n阶（n>=1），求总共有多少种跳法？
令f（n）为“跳n级台阶共有多少种跳法”。
显然，f（1）=1，f（2）=2。
那么当n>2时，我们可以对青蛙的第一步进行分类讨论，它第一步要么跳1阶，要么跳2阶。
当它第一步跳一级台阶的时候，跳n阶共有f(n-1)种跳法。
当它第一步跳两级台阶的时候，跳n阶共有f(n-2)种跳法。
两种情况加起来，得到f(n)=f(n-1)+f(n-2)。这就是我们要得到的动态规划结果，这也是个斐波那契数列。
一般来说，不建议直接在代码中写成递归实现。递归算法虽然代码很简单，但效率却非常低。
详见https://blog.csdn.net/qq_33951180/article/details/52484080。
2、蚂蚁从原点爬到坐标x，y有多少种爬法？
一只蚂蚁位于坐标原点（0,0），它每次只能在x正方向上爬一个单位，或者往y正方向爬一个单位。请问它爬到坐标（x，y）有多少种爬法（x，y都大于0）？
解法1：动态规划
建立一个x+1行y+1列的动态规划矩阵dp。dp[i][j]表示“从原点爬到坐标i，j有多少种爬法”，i>=0,j>=0。
首先将dp初始化，将它的第一行第一列都初始化为1。因为如果i，j中其中一个为0，那就只有一种爬法（直接往那个方向爬）。
对其余的dp中的元素逐行填表，dp[i][j]=dp[i-1,j]+dp[i,j-1]。跟第一题青蛙跳台阶类似，分成“第一步往x方向走”和“第二步往y方向走”两种情况。
我们以x=3和y=3为例：
初始化：
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | |||
| 2 | 1 | |||
| 3 | 1 |
填入其余元素
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 1 | 3 | 6 | 10 |
| 3 | 1 | 4 | 10 | 20 |
于是得到结果为dp[3][3]=20。
当然，这个方法可以优化空间复杂度，这里就不多说了。
解法2：直接用组合
其实有一种更加直接的思路。首先，根据题目的限定条件，蚂蚁爬到（x，y）点一定是爬了（x+y）步的！而且这x+y步中，一定有x步是往x方向走，y步是往y方向走。那问题其实就变为“从x+y步中取出x步，让这x步是往x方向走，共有多少种取法？”（又或者是“从x+y步中取出y步，让这y步是往y方向走，共有多少种取法？”）
因此，令f(x,y)为“爬到坐标（x，y）有多少种爬法”，f(x,y)=C（x+y，x）=C（x+y，y）。
3、从原点出发，一步只能向右走、向上走或向左走，每一步都只能走一个单位长度。恰好走N步且不经过已走的点共有多少种走法？
解法：动态规划。这道题的难点在于，“不经过已走的点”，这个条件应该如何处理。
用一个N*3维的动态规划矩阵，矩阵中，dp[i][0]，dp[i][1]，dp[i][2]分别表示，“最后一步是往上，左，右走的情况下，走i步有多少种走法”。
首先初始化dp的第一行，dp[1,0]=dp[1][1]=dp[1][2]=1。
dp[i][0]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]+dp[i-1][2]，这个好理解，因为如果最后一步是往上走的，那走出这一步一定不会导致经过已有的点。
dp[i][1]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]的意思是说，如果最后一步是往左走的，那上一步不能是往右走的（如果上一步是往右走，那就回到上一步结束后的那个点了），因此dp[i][1]=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]。
dp[i][2]=dp[i-1][0]+dp[i-1][2]同理。
最后，我们需要的结果f(N)= dp[N][0]+dp[N][1]+ dp[N][2]。