acm新手小白必看系列之（8）——二分法精讲及例题
二分，分的是答案，直接在答案在的区间范围中二分，分出一个值，就判断是不是答案，并进行转移
如果已知候选答案的范围（min,max）（单调有序），（无序的话自己排序），有时候我们不必通过计算得到答案，只需在此范围内应用“二分”的过程，逐渐靠近答案（最后，得到答案）！
通过二分的方法，大幅度地跳过一片没必要的比较和选择
- 首先介绍最典型的二分——二分查找
二分法求零点，把区间折半来找零点，虽然找不到具体的零点值但是可以确定大体零点的一个范围，达到一定精度后可以看作答案。
- 所以我们现在就是把这种思想转化为一个问题
即问题如下：给定一个有序的数组，查找k是否在数组中
分析：首先，将表中间位置记录的关键字与k比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子区间，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子区间，否则进一步查找后一子区间。
重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子区间不存在为止，此时查找不成功．容易知道算法的时间复杂度为O（logN）
实例1
实例2
如果还是使用 for 循环查找的话
很显然，一般也要比较到最后才会发现不存在
用二分查找，便可以在过程中，大片大片地省去检查那些没有必要的“可能答案”
随着数据量的提升，复杂度也稳定于O(Log n)
实例3
（加inline是内联函数的意思，这又是啥意思呢，可以理解为有的时候加上去之后可以加快运行速度。）
显然可以用上图的函数来做，用二分法怎么做呢？
第一种 ——循环
第二种——递归
1.二分查找upper_bound
有n(1<=n<=1000005)个整数，已经按照从小到大顺序排列好，现在另外给一个整数x，请找出序列中第1个大于x的数的下标！
Input
输入数据包含多个测试实例，每组数据由两行组成，第一行是n和x，第二行是已经有序的n个整数的数列。
Output
对于每个测试实例，请找出序列中第1个大于x的数的下标。
Sample Input
3 3
1 2 4
Sample Output
2
Hint
本题为多组数据，while(scanf("%d%d",&n,&m)!=-1)即可
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2E6+9;
int a[N];
int main()
{
int n,x,ans;
while(~scanf("%d%d",&n,&x))
{
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
int ans=upper_bound(a,a+n,x)-a;//
//lower_bound( begin,end,num)：从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于或等于num的数字，找到返回该数字的地址，
//不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。
//upper_bound( begin,end,num)：从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于num的数字，找到返回该数字的地址，
//不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。
cout <<ans-1<< endl;
}
return 0;
}
2.二分查找例题
给出一组整数，整数个数为n，n不超过1,000,000，问这组整数中是否有k，总共询问q次。
Input
多组输入。
每组输入输入：
第一行2个整数：n q ，1 <=q , n <= 1,000,000 。
第二行 有 n 个整数，已升序排序。所有数 <= 1 e 9+7.
第三行 有 q 个整数，用于查询。
每行各数据之间有空格隔开。
Output
对每个查询数据分别输出一行
存在输出：
no
不存在输出：
YES
Sample Input
5 2
1 2 3 4 5
2 10
Sample Output
no
YES
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,q,k,i,l,r,m,a[1000010];
bool judge(int l,int r,int cmp)
{
while(l<=r)
{
m=l+(r-l)/2;//二分
if(a[m]>cmp) r=m-1;
if(a[m]<cmp) l=m+1;
if(a[m]==cmp) return 1;
}
return 0;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);//取消关联，详解看往期
while(cin>>n>>q)
{
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
while(q--)
{
cin>>k;
if(judge(1,n,k))
printf("no\n");
else
printf("YES\n");
}
}
return 0;
}
3.找坐标
一天，小蓝用一些奇奇怪怪的工具绘制函数图像，玩得不亦乐乎，期间发现了一个函数：
F(x) = 0.0001 x^5 + 0.003 x^3 + 0.5 x - 3 ，聪明的她一眼see穿了它的单调性，现在，小蓝想标注一些点，已经写出了它们的 y 坐标值 ，聪明的你能帮助 可爱善良的小蓝把对应的 x 坐标值找出来么。谢谢啦！
保证： -20 < x < 20 。答案精确到小数点后第4位。数据多组输入形式。
Input
（多组输入）每行一个实数 y
Output
每行一个四位小数 x
Sample Input
-356.957952
350.957952
Sample Output
-19.9995
19.9995
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double y, x;
double F(double t)
{
return 0.0001*pow(t, 5)+0.003*pow(t, 3)+0.5*t-3;
}
int main()
{
while(scanf("%lf", &x) != EOF)
{
double l=-20, r=20, mid;
while(F(r)-F(l) >= 1e-5)
{
mid = (l+r)/2;//二分法
if(F(mid) > x)
r=mid;
else
l=mid;
}
printf("%.4lf\n", mid);
}
return 0;
}
4.倍数问题
给定2到10,000个不同的正整数，你的任务是计算这些数里面有多少个数对满足：数对中一个数是另一个数的两倍。比如给定1 4 3 2 9 7 18 22，得到的答案是3，因为2是1的两倍，4是2个两倍，18是9的两倍。
Input
输入包括n组测试数据。第一行一个正整数 n 。
接下来n行表示n组数据，每组数据为一行，给出2到10,000个两两不同且小于100,000的正整数。每一行最后一个数是0，表示这一行的结束后，这个数不属于那2到10,000个给定的正整数。
Output
对每组输入数据，输出一行，给出有多少个数对满足其中一个数是另一个数的两倍。
Sample Input
3
1 4 3 2 9 7 18 22 0
2 4 8 10 0
7 5 11 13 1 3 0
Sample Output
3
2
0
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,i,l,r,m,cnt,ans,a[10010];
bool seek(int l,int r,int cmp)
{
while(l<=r)
{
m=l+(r-l)/2;
if(a[m]>cmp)r=m-1;
if(a[m]<cmp)l=m+1;
if(a[m]==cmp)return 1;
}
return 0;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
while(n--)
{
ans=cnt=0;
while(cin>>a[cnt]&&a[cnt])cnt++;
sort(a,a+cnt);
for(i=0;i<cnt;i++)
ans=ans+seek(0,cnt-1,2*a[i]);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
#include <bits/stdc++.h>//桶排思想
using namespace std;
const int N=1e4+10,M=2e5+10;
int t,x,n,ans,a[N],vis[M];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>t;
while(t--)
{
n=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
while(cin>>x&&x)
vis[2*x]=1,a[++n]=x;
ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(vis[a[i]])ans++;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
5.进阶题目，切绳子
有N条绳子，它们的长度分别为Li。如果从它们中切割出K条长度相同的
绳子，这K条绳子每条最长能有多长？答案保留到小数点后2位。
Input
第一行两个整数N和K，接下来N行，描述了每条绳子的长度Li
Output
切割后每条绳子的最大长度。
Sample Input
4 11
8.02
7.43
4.57
5.39
Sample Output
2.00
#include <cstdio>
#include <cmath>//换成万能头文件即可
using namespace std;
const int M=10005;//于define用法类似但是有一些地方不同
const double inf=2000000002.0;
double L[M];
int n,k;
bool judge(double x)
{
int num=0;
for(int i=0;i<n;i++)
num+=(int)(L[i]/x);//强制转换
return num>=k;
}
void solve()//一种神奇的用法
{
double left=0,right=inf;
for(int i=0;i<100;i++)
{
double mid=(left+right)/2;
if(judge(mid)) left=mid;
else right=mid;
}
printf("%.2f\n",floor(right*100)/100);
//floor() 函数用于求不大于 x 的最大整数，也即向上取整。
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&k)!=-1)
{
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%lf",&L[i]);
solve();
}
return 0;
}
练习往期回顾
.越狱
Description
监狱有连续编号为1…N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果
相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱
Input
输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12
Output
可能越狱的状态数，模100003取余
Sample Input
2 3
Sample Output
6
HINT
6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>//换成万能头文件
using namespace std;
long long c=100003;
long long pow_mod(long long a,long long b){
long long ans=1%c;
a%=c;
while(b){
if(b&1)
ans=ans*a%c;
b>>=1;
a=a*a%c;
}
return ans;
}
int main(){
long long n,m;
scanf("%lld%lld",&m,&n);
long long x=pow_mod(m,n);
long long y=m*pow_mod(m-1,n-1)%c;
long long s=(x-y+c)%c;
printf("%lld",s);
}
本期练习
1.乱序排序
有n(1<=n<=2000005)个整数，是乱序的，现在另外给一个整数x，请找出序列排序后的第1个大于x的数的下标！
Input
输入数据包含多个测试实例，每组数据由两行组成，第一行是n和x，第二行是已经有序的n个整数的数列。
Output
对于每个测试实例，请找出从小到大排序后的序列中第1个大于x的数的下标！。
Sample Input
3 3
1 4 2
Sample Output
2
2.分段
对于给定的一个长度为N的正整数数列A-i，现要将其分成M(M≤N)段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。
关于最大值最小：
例如一数列4 2 4 5 1要分成3段
将其如下分段：
[4 2][4 5][1]
第一段和为6，第2段和为9，第3段和为1，和最大值为9。
将其如下分段：
[4][2 4][5 1]
第一段和为4，第22段和为6，第33段和为6，和最大值为6。
并且无论如何分段，最大值不会小于6。
所以可以得到要将数列4 2 4 5 1要分成3段，每段和的最大值最小为6。
Input
第11行包含两个正整数N，M。
第22行包含N个空格隔开的非负整数A_i
含义如题目所述。
Output
一个正整数，即每段和最大值最小为多少。
Sample Input
5 3
4 2 4 5 1
Sample Output
6
Hint
N≤100000,M≤N,A i之和小于1e9
*代码在下一期噢~~~~~*
下节提示
acm新手小白必看系列之（9）——栈精讲及例题
