100044. abcd

题目描述

数据范围

$N \le 200,-25 \le a_i,b_i \le 25,1 \le c_i \le 20,0 \le d_i \le 10^5$

题目分析

这一道题很容易就可以想到DP
因为它要求的是使 $\sum_{i=1}^{n}e[i]*c[i]=0(a[i] \le e[i] \le b[i])$,所以我们便按照题目要求设一个DP
$f[i][j]$为已经定了前 $i$个数,他们与 $c[i]$的乘积和为 $j$的与 $d[i]$的乘积和的最大值
然后对于当前一个数,我们从 $a[i]$到 $b[i]$枚举,然后是转移方程:
$f[i][j]=max(f[i-1][j-k*c[i]]+k*d[i])(a[i] \le k \le b[i])$
初始化为 $f[0][0]=0$,答案为 $f[n][0]$(显然)
可我们发现这只能获得60分,因为空间和时间不允许,就让我们一一来解决

空间

这一个很好解决,直接开滚动数组即可

时间

我们发现,时间复杂度好像是两三亿,其实极限数据跑也不会超过1500ms,所以我们尝试着卡一下常数。
我们设 $max[i]=\sum_{j=i}^{n}b[j]*c[j]$， $min[i]=\sum_{j=i}^{n}a[j]*c[j]$
我们发现对于当前的 $f[i][j]$，如果这个 $j$小于 $-max[i+1]$或大于 $-min[i+1]$，都是没有意义的（显然）
所以我们就这样处理一下，然后…AC!

一些题外话

听说这道题可以用单调队列做出来？（应该是正解）

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[210],b[210],c[210],d[210];
int f[2][210000];int min[210],max[210];
int mymax(int x,int y) {return x>y?x:y;}
int main()
{
	int n;scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i],&d[i]);
	min[n+1]=max[n+1]=0;
	for(int i=n;i>=1;i--) min[i]=min[i+1]+a[i]*c[i],max[i]=max[i+1]+b[i]*c[i];
	memset(f,-60,sizeof(f));
	int ze=mymax(0,max[1]);
	f[0][ze]=0;int t=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		t=1-t;
		for(int j=ze-max[i+1];j<=ze-min[i+1];j++) f[t][j]=-999999999;
		for(int j=a[i];j<=b[i];j++)
			for(int k=ze-max[i+1];k<=ze-min[i+1];k++){
				int g=f[1-t][k-j*c[i]]+j*d[i];
				if(f[t][k]<g) f[t][k]=g;
			}
	}
	printf("%d\n",f[t][ze]);
	return 0;
}