一.定义
- 群
群是啥？？？我不会啊
- 置换(\(g\))
一个置换是一种运算，代表让物体交换位置的一种方法
- 置换群(\(G\))
顾名思义，由置换构成的群
- k不动置换类(\(Z_k\))(稳定化子)
使元素 \(k\) 不改变位置的群的集合
- 等价类(\(E_k\))(轨道)
在置换群 \(G\) 作用下元素 \(k\) 的运动轨迹(一些点的集合)
- 循环(\(h_g\))
在置换 \(g\) 作用下产生的循环
- 轨道-稳定化子定理
\[|E_k|\times|Z_k|=|G|\]
证明：不会
- burnside引理
\[L=\frac{1}{|G|}\sum c_i(c_i表示在置换i下不变的元素个数)\]
由轨道-稳定化子定理可知，|G|可以表示一个等价类中所有元素的 \(Z_k\) 之和
则有\[L\times|G|=\sum_{i=1}^n|Z_i|\]
而根据定义，我们有\[\sum_{i=1}^n|Z_i|=\sum_{k=1}^{|G|}c_i\]
则\[L=\frac{1}{|G|}\sum c_i\]
- polya定理
\[L=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}m^{h_i}(m为颜色数)\]
只适用于对颜色没有位置限制的情况
可以显然的发现在所有颜色平等的情况下和 \(burnside\) 引理是一样的
二.例题
- 1.大部分置换群的题都是套着 \(burnside\) 皮的 \(dp\),这里不加赘述
[bzoj1851]color有色图
题意描述：一张n个节点的完全图，用m种颜色给边染色，对于点编号的交换同构，问有多少种不同的染色方案
查姆讲的太好啦群论之神的博客