关于组合数

定义

　　$\large\binom nk$ ：$n$ 个不同物品选取其中 $k$ 个物品的不同方案数，也可以写成 $C_n^k$。

组合数的阶乘形式

　　如果要知道求组合数的公式，那么要从排列数说起。

　　排列数：从 $n$ 个不同物品中有顺序地选出 $k$ 个物品，那么不同方案数为：

$$\prod_{i=n-k+1}^n i$$

　　写成阶乘的形式：

$$\frac{n!}{(n-k)!}$$

　　这很好理解，就是先从 $n$ 个物品中挑选出一个物品，再从剩余 $n-1$ 个物品再挑选另一个，……，最后在所剩的 $n-k+1$ 个物品中再挑一个物品，利用乘法原理可以求出如上方案数。

　　组合数与排列数的差异在于，组合数的选取方案是没有顺序的，所以组合数的计算方式就是排列数除以挑选 $k$ 个物品的不同排列个数 $k!$。

　　所以组合数可以和阶乘展开式互相转换：

$$\binom nk = \frac{n!}{k!\;(n-k)!}$$