洛谷P5021 赛道修建

题目

首先考虑二分，然后发现最小长度越大的话，赛道就越少。所以可以用最终的赛道个数来判断长度是否合理。问题转化为给定一个长度，问最多有多少条互不重叠路径比这个给定长度大。

考虑贪心，毕竟贪心也是二分check函数的常用做法。原图毕竟为一棵树，每条路径都由一个端点一个终点和他们的\(LCA\)之间的连边组成。我们直接枚举lca，然后枚举lca的子链且该链上无被找到的链，对于没有找到的链，都匹配上子链上最小的、浪费最少的，考虑这样做为什么是对的，因为如果不练子链上，而去连父亲的话，最底下的链肯定就浪费了。所以可以贪心直接用递归子树，然后找到每个子树中的选择的链，不选择的链。就行了，匹配操作可以用二分优化。

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000101
using namespace std;
struct edg {
    int to, nex, len;
}e[N];
int n, m, cnt, root = 1, ha, lin[N], dp[N], temp[N], vis[N], tot;//dp[i]表示i的点权
inline void add(int f, int t, int l)
{
    e[++cnt].len = l;
    e[cnt].to = t;
    e[cnt].nex = lin[f];
    lin[f] = cnt;
}
void dfs(int now, int fa, int len)
{

    int tot = 0;
    for (int i = lin[now]; i; i = e[i].nex)
    {
        int to = e[i].to;
        if (to != fa)
            dfs(to, now, len);
    }
    for (int i = lin[now]; i; i = e[i].nex)
    {
        int to = e[i].to;
        if (to != fa)
            temp[++tot] = dp[to] + e[i].len;
    }
    
    sort(temp + 1, temp + 1 + tot); //将当前i到结尾的所有链处理出来。
//  oprintf("%d %d\n", now, temp[tot]);
    for (int i = tot; i >= 1 && temp[i] >= len; i--)
            tot--, ha--;
    for (int i = 1; i <= tot; i++)
    {
        if (vis[i] == now) 
            continue;//vis判断是否链经过now 
        int a = len - temp[i];//开始二分 
        int l = i + 1, r = tot, mid, ans = tot + 1; 
        while (l <= r)
        {
            mid = (l + r) >> 1;
            if (temp[mid] >= a)//如果当前的另一条链比a大的话，说明此时可以用来求解 
            {
                ans = mid;
                r = mid - 1;
            }
            else l = mid + 1; 
        }
        while (vis[ans] == now && ans <= tot) 
            ans++;
        if (ans <= tot) 
        {
            ha--, vis[i] = vis[ans] = now;
        }
    }
    dp[now] = 0;
    for (int i = tot; i >= 1; i--)//找到第一个最长的链，然后 
        if (vis[i] != now)
        {
            dp[now] = temp[i];
            break;
        }
//  printf("%d\n", dp[now]);
}
bool check(int mid)//判断mid，对于每条路径取到就停止，最后判断是否超过m个比mid大的路径 
{
    ha = m;       // now是当前能满足多少个路径。
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    dfs(root, 0, mid);
    return ha <= 0;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int l = 0, r = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
        add(b, a, c);
        r += c;
    }
    int mid, ans;
    while (l <= r)
    {
        mid = (l + r) >> 1;
        if (check(mid))
        {
            ans = mid;
            l = mid + 1;
        }
        else
            r = mid - 1;
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}