题意简述
给你一颗树有n(n<=5e4)个点，边权<=1e4。请你选出m(1<=m<n)条链，没有公共边，允许有公共点，使得 条链的边权和的最小值最大。
思路
二分+树上贪心检验
具体思路
首先二分是显然的，“最小值最大”是特点，而且显然有单调性。
关键在于，我们钦定了最小值mid之后，如何检验。其实我们只要能找出>=m条链使得最小值>=mid即珂。我们需要贪心。
（令根节点为1）
贪心策略
假设现在考虑以 为根的子树。对于 的每个儿子 ，我们选择某一条到叶子节点的不带拐弯的链（后面会讲怎么选）。这条链的长度上传给 节点。此外，这个长度还要再加上 到 的边权长。设这个长度为val[v]。
那么，有两种情况我们能选出来一个满足条件的链：
- val[v]>=k，这条链不带拐弯
- 存在v1和v2使得val[v1]+val[v2]>=k，带一个拐弯
对于情况1，直接ans++即珂。
对于情况2，我们把除了情况1以外的val值放到一个multiset里面，记为s[u]。然后我们每次拿出最小的（即*s[u].begin()）为v1，找到一个最小的和它不一样的为v2，使得val[v1]+val[v2]>=k。
如果能找到，先记录答案ans++，然后把这两个从s[u]中删除。
如果找不到怎么办呢？说明这个val即不满足val[v]>=k，也没有v2使得val[v1]+val[v2]>=k。那么，这个val就只能上传给u的父亲。如果最后s[u]中只剩下一个珂供选择，也是同样的道理，要作为选择上传给
的父亲。
在所有选剩下的节点中，我们显然要选长度最大的那一个给父亲。因为长度越大，越有珂能满足1和2条件中的一个。
简略证明正确性（解决几个小问题）
- 会不会有一个val[v1]，能找到匹配，但是直接上传到 的父亲比找一个 匹配合算呢？
答案是不会。因为我们直接上传对答案的贡献也许是1（也许没有），还浪费了一个良好的匹配，也许以后就会匹配不上而导致答案不优；但是找匹配的话，不仅能弄一个1出来，匹配数和上面也是一样的。那就肯定更优。所以，我们的总体策略是对的
- 匹配的问题：取val最小的，然后lowerbound找匹配，这样一定最优吗？
因为我们还要让失配的上传给 的父亲，而且要尽量大。所以我们肯定是省着点用，满足条件的里面选最小的即珂，这样能使留下来的最大，给父亲的就更有珂能找到更多满足条件的链。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
#define N 155555
#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
#define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
#define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
#define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
#define FK(x) MEM(x,0)
class Graph
{
public:
int head[N];
int EdgeCount;
struct Edge
{
int To,Label,Next;
}Ed[N<<1];
void clear(int _V=N,int _E=N<<1)
{
memset(Ed,-1,sizeof(Edge)*(_E));
memset(head,-1,sizeof(int)*(_V));
EdgeCount=-1;
}
void AddEdge(int u,int v,int w=1)
{
Ed[++EdgeCount]=(Edge){v,w,head[u]};
head[u]=EdgeCount;
}
void Add2(int u,int v,int w=1) {AddEdge(u,v,w);AddEdge(v,u,w);}
int Start(int u) {return head[u];}
int To(int u){return Ed[u].To;}
int Label(int u){return Ed[u].Label;}
int Next(int u){return Ed[u].Next;}
}G;
void R1(int &x)
{
x=0;char c=getchar();int f=1;
while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=(f==1)?x:-x;
}
int n,m;
void Input()
{
R1(n),R1(m);
G.clear();
F(i,1,n-1)
{
int u,v,w;R1(u),R1(v),R1(w);
G.Add2(u,v,w);
}
}
int ans=0;
multiset<int> s[N];multiset<int>::iterator it;
int DFS(int u,int f,int k)
{
s[u].clear();
Tra(i,u) if (__v!=f)
{int v=__v;
int val=G.Label(i)+DFS(v,u,k);
if (val>=k) ++ans; //val>=k的直接处理掉情况1
else s[u].insert(val); //否则放到multiset里，处理情况2
}
int Max=0;//上传给u的父亲的最长的选剩下的链
while(!s[u].empty())
{
if (s[u].size()==1) //只剩一个了，直接处理掉
{
return max(Max,*s[u].begin());
}
it=s[u].lower_bound(k-(*s[u].begin()));if (it==s[u].begin() and s[u].count(*it)==1) ++it;
//找到和它不相等，和>=k，且最小的位置
if (it==s[u].end()) //找不到
{
Max=max(Max,*s[u].begin());
s[u].erase(s[u].begin());//那就相当于选剩下的，上传给u的父亲
}
else
{
++ans;s[u].erase(it);s[u].erase(s[u].begin());
//一个匹配：删掉两个，答案++
}
}
return Max;//把最大的上传给父亲
}
bool cxk(int mid)
{
ans=0;DFS(1,0,mid);
return ans>=m;
}
void Soviet()
{
int l=1,r=1e9;
while(l<r)
{
int mid=(l+r+1)>>1;
if (cxk(mid)) l=mid;
else r=mid-1;
}
printf("%d\n",l);
}
#define Flan void
Flan IsMyWife()
{
Input();
Soviet();
}
}
int main()
{
Flandre_Scarlet::IsMyWife();
getchar();getchar();
return 0;
}
