【JZOJ6405】【NOIP2019模拟11.04】c

题目大意

给出一个矩阵的定义：

求它的逆矩阵的各项平方和。

\(n\leq 1000000,m \leq 10^9+6\)

Solution

手玩\(m=0\)的情况可以发现逆矩阵的定义是类似的：

• \(j\leq i,(P^{-1}_n)(i,j)=(-1)^{i+j}(^{i}_{j})\)
• \(j>i,(P^{-1}_n)(i,j)=0\)

模拟矩阵乘法就能证明这个结论。

当多了一个\(j^{-m}\)时，矩阵应该是这样的：

• \(j\leq i,(P^{-1}_n)(i,j)=(-1)^{i+j}(^{i}_{j})i^m\)
• \(j>i,(P^{-1}_n)(i,j)=0\)

证明与上面的类似。

于是问题变成求：
\[\sum_{i=1}^{n}i^{2m}\sum_{j=1}^{i}(^i_{j})^2\]

组合数的平方和即：
\[\sum_{i=0}^{n}C(n,i)^2\]
转化为：
\[\sum_{i=0}^{n}C(n,i)*C(n,n-i)\]
考虑其组合意义，相当于把一个长度为\(2n\)的序列分为两部分，枚举一部分选\(i\)个，另一部分选\(n-i\)个。其实就是在\(2n\)个数里选\(n\)个，于是上面的式子就变成：
\[\sum_{i=1}^{n}i^{2m}((^{2i}_i)-1)\]
线性求一下逆元就能\(O(n)\)解决了。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 2000007;
const ll P = 1e9 + 7;

int n, m;
ll ans, fac[N], inv[N];

ll pow(ll a, ll b) {
    ll ret = 1;
    for (; b; a = a * a % P, b >>= 1) if (b & 1) ret = ret * a % P;
    return ret;
}
ll C(int n, int m) { return fac[n] * inv[m] % P * inv[n - m] % P; }

int main() {
    freopen("c.in", "r", stdin);
    //freopen("c.out", "w", stdout);
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 2000000; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % P;
    inv[0] = inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 2000000; ++i) inv[i] = inv[P % i] * (P - P / i) % P;
    for (int i = 2; i <= 2000000; ++i) inv[i] = inv[i] * inv[i - 1] % P;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) ans = (ans + pow(i, 2 * m) * (C(2 * i, i) - 1 + P) % P) % P;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}