概念引入
如图所示，已知函数\(y=f(x)\)，给定其上的两个点\(A(x_0，y_0)\)和\(B(x_0+\Delta x，y_0+\Delta y)\)，
则经过这两个点的直线\(AB\)，我们称为函数的割线，
表达式\(\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)称为函数在\((x_0，x_0+\Delta x)\)上的平均变化率，
也就是割线的斜率\(k=\cfrac{\Delta y}{\Delta x}\)， 当点\(B\)沿着函数图像向点\(A\)靠近时，即\(\Delta x\longrightarrow 0\)时，
割线就变成了切线，也就是平均变化率变成了瞬时变化率。
用数学式子表达如下：
\(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)，我们称为函数在点\(x=x_0\)处的瞬时变化率，
如果这个极限存在，记为常数\(k\)，那么我们就称函数在这一点有导数，并称之为函数在点\(x=x_0\)的导数，
记作\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}\)，或者记作\(y'|_{x=x_0}\)或者\(\cfrac{df(x_0)}{dx}\)
廓清认知
1、函数在某一点处的导数，是一个常数，其对应的形为函数在这一点的切线的斜率。即
\[k=f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}\]
若切点坐标是\((x_0，y_0)\)，则切线方程为\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)；
2、函数在某一点有导数的前提条件是函数在这一点的极限[即左极限和右极限都存在且相等]要存在，初高中阶段所学的函数中有一个函数\(y=|x|\)，在\(x=0\)处就没有导数，即函数\(y=|x|\)在\(x=0\)处不可导，
粗浅的可以这样理解，凡是函数图像上有尖角的地方就不可导，详细的原因是函数在这一点处的左右极限不相等。
3、导数与几何、代数、物理都有关联，比如在几何上可以求在某点处的切线斜率；在代数上可以求瞬时变化率；
在物理上可以求速度和加速度(位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度)；
4、求导和求不定积分是一对互逆的运算。
5、对函数而言，连续不一定可导，但可导一定连续。比如函数\(y=|x|\)，
故函数在某个区间上连续是函数可导的必要不充分条件，因此我们给函数求导时往往需要先要求函数连续。
6、过函数上某一定点的割线的极限是函数在这一点处的切线，割线的斜率的极限就是切线的斜率。
7、我们在初中定义直线和圆(圆是非常特殊的封闭图形)相切时是利用交点的个数，
当二者只有一个交点时，就一定相切；当二者相切时必然只有一个交点。
但是当我们的研究范围和方法变化后，我们利用割线的极限来定义切线，就得注意打破这一点，
- 当直线和曲线相切时，不一定只有一个交点，也可能有无数个交点，
比如直线\(y=1\)和曲线\(y=sinx\)，二者相切，有无数个交点。
- 当直线和曲线只有一个交点时，不一定是相切的，也可能相交，
比如直线\(x=1\)和抛物线\(y=(x-1)^2\)只有一个交点，但此时二者是相交的，不是相切的。
8、函数的导数是个常数，记作\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)或者\(y'|_{x=x_0}\)；
而导函数是个函数，是个变量，记作\(f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)或\(y'|_{x}\)，
9、用定义法可以求函数的导数和导函数，
比如求函数\(f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=1\)处的导数；
比如求函数\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的导函数；
10、常常利用函数的导数是常数设置题目，如已知函数\(f(x)=x^2+2f'(2)x+3\)，求函数的解析式
分析：就是利用函数的导数是个常数，给函数求导得到，
\(f'(x)=2x+2f'(2)\)，令\(x=2\)，解得\(f'(2)=-4\)，
故函数的解析式为\(f(x)=x^2-8x+3\)。
11、实际问题中的导数的意义：在不同的实际问题中，导数的意义是不相同的。
比如：功率是功关于时间的导数；速度是路程关于时间的导数；
加速度是速度关于时间的导数；线密度是质量关于长度的导数；
边际成本是成本关于产量的导数；气球的膨胀率是气球半径关于体积的导数。
12、定义的应用举例：
分析：\(f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)
记\(f(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x}}\)，
则\(\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)
\(=\cfrac{\cfrac{1}{\sqrt{1+\Delta x}}-1}{\Delta x}\)
\(=\cfrac{\cfrac{1-\sqrt{1+\Delta x}}{\sqrt{1+\Delta x}}}{\Delta x}\)
\(=\cfrac{1-\sqrt{1+\Delta x}}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}}\)
\(=\cfrac{(1-\sqrt{1+\Delta x})\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)
\(=\cfrac{-\Delta x}{\Delta x\cdot \sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)
\(=\cfrac{-1}{\sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)
则\(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{-1}{\sqrt{1+\Delta x}\cdot (1+\sqrt{1+\Delta x})}\)
\(=-\cfrac{1}{2}\)。
13、求函数的导数、导函数的方法有定义法和公式法，使用定义法可以帮助我们理解这些公式的来源和正确性。但在后续的学习中，我们一般不用定义法求函数的导数。
典例剖析
分析：由题可知，\(f(2)=2\times 3+1=7\)，\(f'(2)=3\)，故\(f(2)+f'(2)=10\);